Integral de 75/(5-3x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{75}{5 - 3 x}\, dx = 75 \int \frac{1}{5 - 3 x}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 - 3 x$.

         Luego que $du = - 3 dx$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

         $\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(5 - 3 x \right)}}{3}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{5 - 3 x} = - \frac{1}{3 x - 5}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{3 x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{1}{3 x - 5}\, dx$

         1. que $u = 3 x - 5$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{5 - 3 x} = - \frac{1}{3 x - 5}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{3 x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{1}{3 x - 5}\, dx$

         1. que $u = 3 x - 5$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{3 u}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 25 \log{\left(5 - 3 x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 25 \log{\left(5 - 3 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 25 \log{\left(5 - 3 x \right)}+ \mathrm{constant}$