Integral de 1/x^4×(sprt)(16-x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{2 u^{4} - 32}{u^{6}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 u^{4} - 32}{u^{6}}\, du = - \int \frac{2 u^{4} - 32}{u^{6}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{2 u^{4} - 32}{u^{6}} = \frac{2}{u^{2}} - \frac{32}{u^{6}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{32}{u^{6}}\right)\, du = - 32 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{5 u^{5}}$

            El resultado es: $- \frac{2}{u} + \frac{32}{5 u^{5}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{u} - \frac{32}{5 u^{5}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{32}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\sqrt{x}}{x^{4}} \left(16 - x^{2}\right) = - \frac{x^{2} - 16}{x^{\frac{7}{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2} - 16}{x^{\frac{7}{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2} - 16}{x^{\frac{7}{2}}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2} - 16}{x^{\frac{7}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{16}{x^{\frac{7}{2}}}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{16}{x^{\frac{7}{2}}}\right)\, dx = - 16 \int \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}\, dx = - \frac{2}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

         El resultado es: $- \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{32}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{32}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{2 \left(5 x^{2} - 16\right)}{5 x^{\frac{5}{2}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \left(5 x^{2} - 16\right)}{5 x^{\frac{5}{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \left(5 x^{2} - 16\right)}{5 x^{\frac{5}{2}}}+ \mathrm{constant}$