Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de y=2/x
Integral de (x-x³)dx
Integral de x|x-t|
Integral de x×x
Expresiones idénticas
(dos ^ cuatro)×sin^ seis (x/ dos)
(2 en el grado 4)× seno de en el grado 6(x dividir por 2)
(dos en el grado cuatro)× seno de en el grado seis (x dividir por dos)
(24)×sin6(x/2)
24×sin6x/2
(2⁴)×sin⁶(x/2)
2^4×sin^6x/2
(2^4)×sin^6(x dividir por 2)
(2^4)×sin^6(x/2)dx
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)*dx
sin(√x)dx
sin(x)*cos(x)/x
sin^xdx
sin(x)*cos(x)*e^sin(x)

Resolución de integrales/ sin^6/ (2^4)×sin^6(x/2)

Integral de (2^4)×sin^6(x/2) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1              
  /              
 |               
 |        6/x\   
 |  16*sin |-| dx
 |         \2/   
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} 16 \sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Integral(16*sin(x/2)^6, (x, 0, 1))

Solución detallada

La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

$\int 16 \sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = 16 \int \sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{3}$
2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
  Método #1
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
      
      Hay varias maneras de calcular esta integral.
      
      Método #1
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Método #2
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Método #3
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} = - \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{8}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx}{8}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{8}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
    El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
  Método #2
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{3} = - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8} + \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8} + \frac{1}{8}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{\int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{8}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{3 \cos^{2}{\left(x \right)}}{8}\, dx = \frac{3 \int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{8}$
      
      Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
      
      Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x}{16} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx = - \frac{3 \int \cos{\left(x \right)}\, dx}{8}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \sin{\left(x \right)}}{8}$
    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{8}\, dx = \frac{x}{8}$
    El resultado es: $\frac{5 x}{16} + \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{24} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{32}$
Por lo tanto, el resultado es: $5 x + \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 8 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$5 x + \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 8 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$5 x + \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 8 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                           
 |                                           3                
 |       6/x\                           2*sin (x)   3*sin(2*x)
 | 16*sin |-| dx = C - 8*sin(x) + 5*x + --------- + ----------
 |        \2/                               3           2     
 |                                                            
/

$$\int 16 \sin^{6}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + 5 x + \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} - 8 \sin{\left(x \right)} + \frac{3 \sin{\left(2 x \right)}}{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                                 3                       5              
                           20*sin (1/2)*cos(1/2)   16*sin (1/2)*cos(1/2)
5 - 10*cos(1/2)*sin(1/2) - --------------------- - ---------------------
                                     3                       3

$$- 10 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)} - \frac{20 \sin^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} - \frac{16 \sin^{5}{\left(\frac{1}{2} \right)} \cos{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + 5$$

                                 3                       5              
                           20*sin (1/2)*cos(1/2)   16*sin (1/2)*cos(1/2)
5 - 10*cos(1/2)*sin(1/2) - --------------------- - ---------------------
                                     3                       3

5 - 10*cos(1/2)*sin(1/2) - 20*sin(1/2)^3*cos(1/2)/3 - 16*sin(1/2)^5*cos(1/2)/3

Respuesta numérica [src]

0.0293937528359875

0.0293937528359875

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (2^4)×sin^6(x/2) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #1

Método #2

Método #3

Método #2