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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x/((2*x))
Integral de x/(2x+1)^(1/2)
Integral de x^2*sqrt(3-x^3)
Integral de x^2/(x^6-1)
Expresiones idénticas
(x/(x^ dos +a^ dos))^ dos
(x dividir por (x al cuadrado más a al cuadrado )) al cuadrado
(x dividir por (x en el grado dos más a en el grado dos)) en el grado dos
(x/(x2+a2))2
x/x2+a22
(x/(x²+a²))²
(x/(x en el grado 2+a en el grado 2)) en el grado 2
x/x^2+a^2^2
(x dividir por (x^2+a^2))^2
(x/(x^2+a^2))^2dx
Expresiones semejantes
(x/(x^2-a^2))^2

Resolución de integrales/ x/(x^2+a^2)/ (x/(x^2+a^2))^2

Integral de (x/(x^2+a^2))^2 dx

Solución

Ha introducido [src]

 oo              
  /              
 |               
 |           2   
 |  /   x   \    
 |  |-------|  dx
 |  | 2    2|    
 |  \x  + a /    
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{\infty} \left(\frac{x}{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}\, dx$$

Integral((x/(x^2 + a^2))^2, (x, 0, oo))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{x}{a^{2} + x^{2}}\right)^{2} = - \frac{a^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{a^{2} + x^{2}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{a^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - a^{2} \int \frac{1}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 a^{4} + 2 a^{2} x^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{4}}{a^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- a^{2} \left(\frac{x}{2 a^{4} + 2 a^{2} x^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{4}}{a^{3}}\right)$
  1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)}}{\sqrt{a^{2}}}$ .
  El resultado es: $- a^{2} \left(\frac{x}{2 a^{4} + 2 a^{2} x^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{4}}{a^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)}}{\sqrt{a^{2}}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{x}{a^{2} + x^{2}}\right)^{2} = \frac{x^{2}}{a^{4} + 2 a^{2} x^{2} + x^{4}}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{2}}{a^{4} + 2 a^{2} x^{2} + x^{4}} = - \frac{a^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{a^{2} + x^{2}}$
3. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{a^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - a^{2} \int \frac{1}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 a^{4} + 2 a^{2} x^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{4}}{a^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- a^{2} \left(\frac{x}{2 a^{4} + 2 a^{2} x^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{4}}{a^{3}}\right)$
  1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)}}{\sqrt{a^{2}}}$ .
  El resultado es: $- a^{2} \left(\frac{x}{2 a^{4} + 2 a^{2} x^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{4}}{a^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)}}{\sqrt{a^{2}}}$
Ahora simplificar:

$\frac{a \left(a^{2} + x^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)} - \frac{\left(2 a x + i \left(a^{2} + x^{2}\right) \left(- \log{\left(- i a + x \right)} + \log{\left(i a + x \right)}\right)\right) \sqrt{a^{2}}}{4}}{a \left(a^{2} + x^{2}\right) \sqrt{a^{2}}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{a \left(a^{2} + x^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)} - \frac{\left(2 a x + i \left(a^{2} + x^{2}\right) \left(- \log{\left(- i a + x \right)} + \log{\left(i a + x \right)}\right)\right) \sqrt{a^{2}}}{4}}{a \left(a^{2} + x^{2}\right) \sqrt{a^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{a \left(a^{2} + x^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)} - \frac{\left(2 a x + i \left(a^{2} + x^{2}\right) \left(- \log{\left(- i a + x \right)} + \log{\left(i a + x \right)}\right)\right) \sqrt{a^{2}}}{4}}{a \left(a^{2} + x^{2}\right) \sqrt{a^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                           /   x   \                                                          
  /                    atan|-------|                                                          
 |                         |   ____|      /                   I*log(x - I*a)   I*log(x + I*a)\
 |          2              |  /  2 |      |                 - -------------- + --------------|
 | /   x   \               \\/  a  /    2 |      x                  4                4       |
 | |-------|  dx = C + ------------- - a *|-------------- + ---------------------------------|
 | | 2    2|                 ____         |   4      2  2                    3               |
 | \x  + a /                /  2          \2*a  + 2*a *x                    a                /
 |                        \/  a                                                               
/

$$\int \left(\frac{x}{a^{2} + x^{2}}\right)^{2}\, dx = C - a^{2} \left(\frac{x}{2 a^{4} + 2 a^{2} x^{2}} + \frac{- \frac{i \log{\left(- i a + x \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(i a + x \right)}}{4}}{a^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{a^{2}}} \right)}}{\sqrt{a^{2}}}$$

Simplificar

Respuesta [src]

/        pi               /   /                 1                        \                 \
|       ---         for Or|And|2*|arg(a)| < pi, -- != 0, 2*|arg(a)| != pi|, 2*|arg(a)| < pi|
|       4*a               |   |                  2                       |                 |
|                         \   \                 a                        /                 /
|                                                                                           
| oo                                                                                        
|  /                                                                                        
| |                                                                                         
< |       2                                                                                 
| |      x                                                                                  
| |  ---------- dx                                 otherwise                                
| |           2                                                                             
| |  / 2    2\                                                                              
| |  \a  + x /                                                                              
| |                                                                                         
|/                                                                                          
\0

$$\begin{cases} \frac{\pi}{4 a} & \text{for}\: \left(2 \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| < \pi \wedge \frac{1}{a^{2}} \neq 0 \wedge 2 \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| \neq \pi\right) \vee 2 \left|{\arg{\left(a \right)}}\right| < \pi \\\int\limits_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(a^{2} + x^{2}\right)^{2}}\, dx & \text{otherwise} \end{cases}$$

/        pi               /   /                 1                        \                 \
|       ---         for Or|And|2*|arg(a)| < pi, -- != 0, 2*|arg(a)| != pi|, 2*|arg(a)| < pi|
|       4*a               |   |                  2                       |                 |
|                         \   \                 a                        /                 /
|                                                                                           
| oo                                                                                        
|  /                                                                                        
| |                                                                                         
< |       2                                                                                 
| |      x                                                                                  
| |  ---------- dx                                 otherwise                                
| |           2                                                                             
| |  / 2    2\                                                                              
| |  \a  + x /                                                                              
| |                                                                                         
|/                                                                                          
\0

Piecewise((pi/(4*a), (2*Abs(arg(a)) < pi)∨((Ne(a^(-2), 0))∧(2*Abs(arg(a)) < pi)∧(Ne(2*Abs(arg(a)), pi)))), (Integral(x^2/(a^2 + x^2)^2, (x, 0, oo)), True))

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (x/(x^2+a^2))^2 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2