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Resolución de integrales/ 1-2*x/ sin(2*x)/ (1-2*x)*sin(2*x)

Integral de (1-2*x)*sin(2*x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
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 |  (1 - 2*x)*sin(2*x) dx
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-p                       
---                      
 4
∫−p40(1−2x)sin⁡(2x) dx\int\limits_{- \frac{p}{4}}^{0} \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral((1 - 2*x)*sin(2*x), (x, -p/4, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−2xu = - 2 x.

      Luego que du=−2dxdu = - 2 dx y ponemos dudu:

      ∫(usin⁡(u)2+sin⁡(u)2) du\int \left(\frac{u \sin{\left(u \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫usin⁡(u)2 du=∫usin⁡(u) du2\int \frac{u \sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int u \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=sin⁡(u)\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral del seno es un coseno menos:

              ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(u)) du=−∫cos⁡(u) du\int \left(- \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(u \right)}\, du

            1. La integral del coseno es seno:

              ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(u)- \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −ucos⁡(u)2+sin⁡(u)2- \frac{u \cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u)2 du=∫sin⁡(u) du2\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        El resultado es: −ucos⁡(u)2+sin⁡(u)2−cos⁡(u)2- \frac{u \cos{\left(u \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(u \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2−cos⁡(2x)2x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−2x)sin⁡(2x)=−2xsin⁡(2x)+sin⁡(2x)\left(1 - 2 x\right) \sin{\left(2 x \right)} = - 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xsin⁡(2x)) dx=−2∫xsin⁡(2x) dx\int \left(- 2 x \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del seno es un coseno menos:

                  ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

            Método #2

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

              1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

                Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

                ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                  Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡2(x)- \cos^{2}{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2−cos⁡(2x)2x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=1−2xu{\left(x \right)} = 1 - 2 x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=−2\operatorname{du}{\left(x \right)} = -2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. que u=2xu = 2 x.

      Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

      ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−2x)sin⁡(2x)=−2xsin⁡(2x)+sin⁡(2x)\left(1 - 2 x\right) \sin{\left(2 x \right)} = - 2 x \sin{\left(2 x \right)} + \sin{\left(2 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xsin⁡(2x)) dx=−2∫xsin⁡(2x) dx\int \left(- 2 x \sin{\left(2 x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \sin{\left(2 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(2x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(2x)2) dx=−∫cos⁡(2x) dx2\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)4- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

      1. que u=2xu = 2 x.

        Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

      El resultado es: xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2−cos⁡(2x)2x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

    Método #5

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2(1−2x)sin⁡(x)cos⁡(x) dx=2∫(1−2x)sin⁡(x)cos⁡(x) dx\int 2 \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (1−2x)sin⁡(x)cos⁡(x)=−2xsin⁡(x)cos⁡(x)+sin⁡(x)cos⁡(x)\left(1 - 2 x\right) \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} = - 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2xsin⁡(x)cos⁡(x)) dx=−2∫xsin⁡(x)cos⁡(x) dx\int \left(- 2 x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int x \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(2x)2 dx=∫sin⁡(2x) dx2\int \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \sin{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

              1. que u=2xu = 2 x.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫sin⁡(u)2 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du2\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{2}

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                    ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

                  Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)2- \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                −cos⁡(2x)2- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(2x)4- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−cos⁡(2x)4) dx=−∫cos⁡(2x) dx4\int \left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{4}

            1. que u=2xu = 2 x.

              Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

                1. La integral del coseno es seno:

                  ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(2x)8- \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x)2−sin⁡(2x)4\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

          Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

          ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

        El resultado es: xcos⁡(2x)2−sin⁡(2x)4−cos⁡2(x)2\frac{x \cos{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2−cos⁡2(x)x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \cos^{2}{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    xcos⁡(2x)−2sin⁡(2x+π4)2x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    xcos⁡(2x)−2sin⁡(2x+π4)2+constantx \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xcos⁡(2x)−2sin⁡(2x+π4)2+constantx \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sqrt{2} \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                             cos(2*x)   sin(2*x)             
 | (1 - 2*x)*sin(2*x) dx = C - -------- - -------- + x*cos(2*x)
 |                                2          2                 
/
∫(1−2x)sin⁡(2x) dx=C+xcos⁡(2x)−sin⁡(2x)2−cos⁡(2x)2\int \left(1 - 2 x\right) \sin{\left(2 x \right)}\, dx = C + x \cos{\left(2 x \right)} - \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}
Simplificar
Respuesta [src] 
         /p\      /p\        /p\
      cos|-|   sin|-|   p*cos|-|
  1      \2/      \2/        \2/
- - + ------ - ------ + --------
  2     2        2         4
pcos⁡(p2)4−sin⁡(p2)2+cos⁡(p2)2−12\frac{p \cos{\left(\frac{p}{2} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{p}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{p}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2} 
=
= 
         /p\      /p\        /p\
      cos|-|   sin|-|   p*cos|-|
  1      \2/      \2/        \2/
- - + ------ - ------ + --------
  2     2        2         4
pcos⁡(p2)4−sin⁡(p2)2+cos⁡(p2)2−12\frac{p \cos{\left(\frac{p}{2} \right)}}{4} - \frac{\sin{\left(\frac{p}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(\frac{p}{2} \right)}}{2} - \frac{1}{2} 
-1/2 + cos(p/2)/2 - sin(p/2)/2 + p*cos(p/2)/4

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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