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Resolución de integrales/ sin(x)/ (1+2x)/ (1+2x)*sin(x)

Integral de (1+2x)*sin(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  pi                    
  --                    
  3                     
   /                    
  |                     
  |  (1 + 2*x)*sin(x) dx
  |                     
 /                      
-pi                     
----                    
 4
∫−π4π3(2x+1)sin⁡(x) dx\int\limits_{- \frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \left(2 x + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((1 + 2*x)*sin(x), (x, -pi/4, pi/3))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (2x+1)sin⁡(x)=2xsin⁡(x)+sin⁡(x)\left(2 x + 1\right) \sin{\left(x \right)} = 2 x \sin{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xsin⁡(x) dx=2∫xsin⁡(x) dx\int 2 x \sin{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−cos⁡(x)) dx=−∫cos⁡(x) dx\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −sin⁡(x)- \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(x)- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=2x+1u{\left(x \right)} = 2 x + 1 y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

      1. La integral del coseno es seno:

        ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(x)+constant- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(x)+constant- 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                        
 |                                                         
 | (1 + 2*x)*sin(x) dx = C - cos(x) + 2*sin(x) - 2*x*cos(x)
 |                                                         
/
∫(2x+1)sin⁡(x) dx=C−2xcos⁡(x)+2sin⁡(x)−cos⁡(x)\int \left(2 x + 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C - 2 x \cos{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
-0.6-0.4-0.20.00.20.40.60.81.05-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                       ___        ___
  1     ___   pi   3*\/ 2    pi*\/ 2 
- - + \/ 3  - -- + ------- - --------
  2           3       2         4
−2π4−π3−12+3+322- \frac{\sqrt{2} \pi}{4} - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} + \sqrt{3} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} 
=
= 
                       ___        ___
  1     ___   pi   3*\/ 2    pi*\/ 2 
- - + \/ 3  - -- + ------- - --------
  2           3       2         4
−2π4−π3−12+3+322- \frac{\sqrt{2} \pi}{4} - \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} + \sqrt{3} + \frac{3 \sqrt{2}}{2} 
-1/2 + sqrt(3) - pi/3 + 3*sqrt(2)/2 - pi*sqrt(2)/4
Respuesta numérica [src] 
1.19545286539233
1.19545286539233

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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