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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de (1+x)/x
Integral de 1/(2*x)
Integral de x/(1-x^2)
Integral de log(x)^3/x
Expresiones idénticas
(x²-y²)/(x²+y²)²
(x² menos y²) dividir por (x² más y²)²
x²-y²/x²+y²²
(x²-y²) dividir por (x²+y²)²
(x²-y²)/(x²+y²)²dx
Expresiones semejantes
(x²+y²)/(x²+y²)²
(x²-y²)/(x²-y²)²

Resolución de integrales/ x²+y²/ (x²-y²)/(x²+y²)²

Integral de (x²-y²)/(x²+y²)² dx

Solución

Ha introducido [src]

  1              
  /              
 |               
 |    2    2     
 |   x  - y      
 |  ---------- dx
 |           2   
 |  / 2    2\    
 |  \x  + y /    
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$$

Integral((x^2 - y^2)/(x^2 + y^2)^2, (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = - \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - 2 y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
  1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$ .
  El resultado es: $- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} = - \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$
3. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{2 y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - 2 y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
  1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$ .
  El resultado es: $- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} - \frac{y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}} = - \frac{y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\right)\, dx = - y^{2} \int \frac{1}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx$
      
      No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
    1. Integral $\frac{1}{x^{2} + 1}$ es $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$ .
    El resultado es: $- y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{y^{2}}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\right)\, dx = - y^{2} \int \frac{1}{x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}}\, dx$
    1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.
      
      Pero la integral
      
      $\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right)$
  El resultado es: $- 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$
Ahora simplificar:

$\frac{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} - \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} - \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)} - \frac{\left(2 x y + i \left(x^{2} + y^{2}\right) \left(- \log{\left(x - i y \right)} + \log{\left(x + i y \right)}\right)\right) \sqrt{y^{2}}}{2}}{y \left(x^{2} + y^{2}\right) \sqrt{y^{2}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

                           /   x   \                                                            
  /                    atan|-------|                                                            
 |                         |   ____|        /                   I*log(x - I*y)   I*log(x + I*y)\
 |   2    2                |  /  2 |        |                 - -------------- + --------------|
 |  x  - y                 \\/  y  /      2 |      x                  4                4       |
 | ---------- dx = C + ------------- - 2*y *|-------------- + ---------------------------------|
 |          2                ____           |   4      2  2                    3               |
 | / 2    2\                /  2            \2*y  + 2*x *y                    y                /
 | \x  + y /              \/  y                                                                 
 |                                                                                              
/

$$\int \frac{x^{2} - y^{2}}{\left(x^{2} + y^{2}\right)^{2}}\, dx = C - 2 y^{2} \left(\frac{x}{2 x^{2} y^{2} + 2 y^{4}} + \frac{- \frac{i \log{\left(x - i y \right)}}{4} + \frac{i \log{\left(x + i y \right)}}{4}}{y^{3}}\right) + \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{\sqrt{y^{2}}} \right)}}{\sqrt{y^{2}}}$$

Simplificar

Respuesta [src]

 -1   
------
     2
1 + y

$$- \frac{1}{y^{2} + 1}$$

 -1   
------
     2
1 + y

$$- \frac{1}{y^{2} + 1}$$

-1/(1 + y^2)

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (x²-y²)/(x²+y²)² dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3