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Resolución de integrales/ x^2-1/ (x+1)/ (2x-3)/ 4x^2-19x+7/(2x-3)(x+1)^2

Integral de 4x^2-19x+7/(2x-3)(x+1)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |  /   2             7           2\   
 |  |4*x  - 19*x + -------*(x + 1) | dx
 |  \              2*x - 3         /   
 |                                     
/                                      
0
∫01((x+1)272x−3+(4x2−19x)) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\left(x + 1\right)^{2} \frac{7}{2 x - 3} + \left(4 x^{2} - 19 x\right)\right)\, dx 
Integral(4*x^2 - 19*x + (7/(2*x - 3))*(x + 1)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x+1)272x−3=7x2+494+1754(2x−3)\left(x + 1\right)^{2} \frac{7}{2 x - 3} = \frac{7 x}{2} + \frac{49}{4} + \frac{175}{4 \left(2 x - 3\right)}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫7x2 dx=7∫x dx2\int \frac{7 x}{2}\, dx = \frac{7 \int x\, dx}{2}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 7x24\frac{7 x^{2}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫494 dx=49x4\int \frac{49}{4}\, dx = \frac{49 x}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1754(2x−3) dx=175∫12x−3 dx4\int \frac{175}{4 \left(2 x - 3\right)}\, dx = \frac{175 \int \frac{1}{2 x - 3}\, dx}{4}

          1. que u=2x−3u = 2 x - 3.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x−3)2\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 175log⁡(2x−3)8\frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

        El resultado es: 7x24+49x4+175log⁡(2x−3)8\frac{7 x^{2}}{4} + \frac{49 x}{4} + \frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x+1)272x−3=7x2+14x+72x−3\left(x + 1\right)^{2} \frac{7}{2 x - 3} = \frac{7 x^{2} + 14 x + 7}{2 x - 3}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        7x2+14x+72x−3=7x2+494+1754(2x−3)\frac{7 x^{2} + 14 x + 7}{2 x - 3} = \frac{7 x}{2} + \frac{49}{4} + \frac{175}{4 \left(2 x - 3\right)}

      3. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫7x2 dx=7∫x dx2\int \frac{7 x}{2}\, dx = \frac{7 \int x\, dx}{2}

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 7x24\frac{7 x^{2}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫494 dx=49x4\int \frac{49}{4}\, dx = \frac{49 x}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1754(2x−3) dx=175∫12x−3 dx4\int \frac{175}{4 \left(2 x - 3\right)}\, dx = \frac{175 \int \frac{1}{2 x - 3}\, dx}{4}

          1. que u=2x−3u = 2 x - 3.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x−3)2\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 175log⁡(2x−3)8\frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

        El resultado es: 7x24+49x4+175log⁡(2x−3)8\frac{7 x^{2}}{4} + \frac{49 x}{4} + \frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        (x+1)272x−3=7x22x−3+14x2x−3+72x−3\left(x + 1\right)^{2} \frac{7}{2 x - 3} = \frac{7 x^{2}}{2 x - 3} + \frac{14 x}{2 x - 3} + \frac{7}{2 x - 3}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫7x22x−3 dx=7∫x22x−3 dx\int \frac{7 x^{2}}{2 x - 3}\, dx = 7 \int \frac{x^{2}}{2 x - 3}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x22x−3=x2+34+94(2x−3)\frac{x^{2}}{2 x - 3} = \frac{x}{2} + \frac{3}{4} + \frac{9}{4 \left(2 x - 3\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

              1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫34 dx=3x4\int \frac{3}{4}\, dx = \frac{3 x}{4}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫94(2x−3) dx=9∫12x−3 dx4\int \frac{9}{4 \left(2 x - 3\right)}\, dx = \frac{9 \int \frac{1}{2 x - 3}\, dx}{4}

              1. que u=2x−3u = 2 x - 3.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(2x−3)2\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: 9log⁡(2x−3)8\frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

            El resultado es: x24+3x4+9log⁡(2x−3)8\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{4} + \frac{9 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: 7x24+21x4+63log⁡(2x−3)8\frac{7 x^{2}}{4} + \frac{21 x}{4} + \frac{63 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫14x2x−3 dx=14∫x2x−3 dx\int \frac{14 x}{2 x - 3}\, dx = 14 \int \frac{x}{2 x - 3}\, dx

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            x2x−3=12+32(2x−3)\frac{x}{2 x - 3} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2 \left(2 x - 3\right)}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫32(2x−3) dx=3∫12x−3 dx2\int \frac{3}{2 \left(2 x - 3\right)}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{2 x - 3}\, dx}{2}

              1. que u=2x−3u = 2 x - 3.

                Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(2x−3)2\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: 3log⁡(2x−3)4\frac{3 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{4}

            El resultado es: x2+3log⁡(2x−3)4\frac{x}{2} + \frac{3 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: 7x+21log⁡(2x−3)27 x + \frac{21 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫72x−3 dx=7∫12x−3 dx\int \frac{7}{2 x - 3}\, dx = 7 \int \frac{1}{2 x - 3}\, dx

          1. que u=2x−3u = 2 x - 3.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫12u du\int \frac{1}{2 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du2\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)2\frac{\log{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(2x−3)2\frac{\log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: 7log⁡(2x−3)2\frac{7 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{2}

        El resultado es: 7x24+49x4+7log⁡(2x−3)2+147log⁡(2x−3)8\frac{7 x^{2}}{4} + \frac{49 x}{4} + \frac{7 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{2} + \frac{147 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

    1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4x2 dx=4∫x2 dx\int 4 x^{2}\, dx = 4 \int x^{2}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: 4x33\frac{4 x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−19x) dx=−19∫x dx\int \left(- 19 x\right)\, dx = - 19 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: −19x22- \frac{19 x^{2}}{2}

      El resultado es: 4x33−19x22\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{19 x^{2}}{2}

    El resultado es: 4x33−31x24+49x4+175log⁡(2x−3)8\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{31 x^{2}}{4} + \frac{49 x}{4} + \frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4x33−31x24+49x4+175log⁡(2x−3)8+constant\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{31 x^{2}}{4} + \frac{49 x}{4} + \frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4x33−31x24+49x4+175log⁡(2x−3)8+constant\frac{4 x^{3}}{3} - \frac{31 x^{2}}{4} + \frac{49 x}{4} + \frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                 
 |                                               2      3                           
 | /   2             7           2\          31*x    4*x    49*x   175*log(-3 + 2*x)
 | |4*x  - 19*x + -------*(x + 1) | dx = C - ----- + ---- + ---- + -----------------
 | \              2*x - 3         /            4      3      4             8        
 |                                                                                  
/
∫((x+1)272x−3+(4x2−19x)) dx=C+4x33−31x24+49x4+175log⁡(2x−3)8\int \left(\left(x + 1\right)^{2} \frac{7}{2 x - 3} + \left(4 x^{2} - 19 x\right)\right)\, dx = C + \frac{4 x^{3}}{3} - \frac{31 x^{2}}{4} + \frac{49 x}{4} + \frac{175 \log{\left(2 x - 3 \right)}}{8}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900-50
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
35   175*log(3)
-- - ----------
6        8
356−175log⁡(3)8\frac{35}{6} - \frac{175 \log{\left(3 \right)}}{8} 
=
= 
35   175*log(3)
-- - ----------
6        8
356−175log⁡(3)8\frac{35}{6} - \frac{175 \log{\left(3 \right)}}{8} 
35/6 - 175*log(3)/8
Respuesta numérica [src] 
-18.1988104812816
-18.1988104812816

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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