Sr Examen

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Integral de 1/(sin(x/2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |     /x\   
 |  sin|-|   
 |     \2/   
 |           
/            
0            
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx$$
Integral(1/sin(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dx
 |    /x\   
 | sin|-|   
 |    \2/   
 |          
/           
La función subintegral
  1   
------
   /x\
sin|-|
   \2/
Multiplicamos numerador y denominador por
   /x\
sin|-|
   \2/
obtendremos
             /x\
          sin|-|
  1          \2/
------ = -------
   /x\      2/x\
sin|-|   sin |-|
   \2/       \2/
Como
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
entonces
   2/x\          2/x\
sin |-| = 1 - cos |-|
    \2/           \2/
cambiamos denominador
    /x\         /x\  
 sin|-|      sin|-|  
    \2/         \2/  
------- = -----------
   2/x\          2/x\
sin |-|   1 - cos |-|
    \2/           \2/
hacemos el cambio
       /x\
u = cos|-|
       \2/
entonces integral
  /                
 |                 
 |       /x\       
 |    sin|-|       
 |       \2/       
 | ----------- dx =
 |        2/x\     
 | 1 - cos |-|     
 |         \2/     
 |                 
/                  
  /                
 |                 
 |       /x\       
 |    sin|-|       
 |       \2/       
 | ----------- dx =
 |        2/x\     
 | 1 - cos |-|     
 |         \2/     
 |                 
/                  
Como du = -dx*sin(x/2)/2
  /         
 |          
 |  -2      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           
Reescribimos la función subintegral
 -2      -2  /  1       1  \
------ = ---*|----- + -----|
     2    2  \1 - u   1 + u/
1 - u                       
entonces
  /                /             /          
 |                |             |           
 |  -2            |   1         |   1       
 | ------ du = -  | ----- du -  | ----- du  
 |      2         | 1 + u       | 1 - u    =
 | 1 - u          |             |           
 |               /             /            
/                                           
  
= -log(1 + u) + log(-1 + u)
hacemos cambio inverso
       /x\
u = cos|-|
       \2/
Respuesta
  /                                                     
 |                                                      
 |   1              /       /x\\      /        /x\\     
 | ------ dx = - log|1 + cos|-|| + log|-1 + cos|-||     
 |    /x\           \       \2//      \        \2// + C0
 | sin|-|                                               
 |    \2/                                               
 |                                                      
/                                                       
donde C0 es la constante que no depende de x
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                  
 |                                                   
 |   1                /       /x\\      /        /x\\
 | ------ dx = C - log|1 + cos|-|| + log|-1 + cos|-||
 |    /x\             \       \2//      \        \2//
 | sin|-|                                            
 |    \2/                                            
 |                                                   
/                                                    
$$\int \frac{1}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}\, dx = C + \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 1 \right)} - \log{\left(\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
oo + pi*I
$$\infty + i \pi$$
=
=
oo + pi*I
$$\infty + i \pi$$
oo + pi*i
Respuesta numérica [src]
88.2231774613249
88.2231774613249

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.