Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x/3)/ e^(-x/4)/ (e^(x/3)+2)^3*e^(-x/4)

Integral de (e^(x/3)+2)^3*e^(-x/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |          3        
 |  / x    \   -x    
 |  | -    |   ---   
 |  | 3    |    4    
 |  \E  + 2/ *E    dx
 |                   
/                    
0
∫01e(−1)x4(ex3+2)3 dx\int\limits_{0}^{1} e^{\frac{\left(-1\right) x}{4}} \left(e^{\frac{x}{3}} + 2\right)^{3}\, dx 
Integral((E^(x/3) + 2)^3*E^((-x)/4), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e(−1)x4(ex3+2)3=(6e2x3+12ex3+ex+8)e−x4e^{\frac{\left(-1\right) x}{4}} \left(e^{\frac{x}{3}} + 2\right)^{3} = \left(6 e^{\frac{2 x}{3}} + 12 e^{\frac{x}{3}} + e^{x} + 8\right) e^{- \frac{x}{4}}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      (6e2x3+12ex3+ex+8)e−x4=6e5x12+12ex12+e3x4+8e−x4\left(6 e^{\frac{2 x}{3}} + 12 e^{\frac{x}{3}} + e^{x} + 8\right) e^{- \frac{x}{4}} = 6 e^{\frac{5 x}{12}} + 12 e^{\frac{x}{12}} + e^{\frac{3 x}{4}} + 8 e^{- \frac{x}{4}}

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6e5x12 dx=6∫e5x12 dx\int 6 e^{\frac{5 x}{12}}\, dx = 6 \int e^{\frac{5 x}{12}}\, dx

        1. que u=5x12u = \frac{5 x}{12}.

          Luego que du=5dx12du = \frac{5 dx}{12} y ponemos 12du5\frac{12 du}{5}:

          ∫12eu5 du\int \frac{12 e^{u}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 12eu5\frac{12 e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12e5x125\frac{12 e^{\frac{5 x}{12}}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 72e5x125\frac{72 e^{\frac{5 x}{12}}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12ex12 dx=12∫ex12 dx\int 12 e^{\frac{x}{12}}\, dx = 12 \int e^{\frac{x}{12}}\, dx

        1. que u=x12u = \frac{x}{12}.

          Luego que du=dx12du = \frac{dx}{12} y ponemos 12du12 du:

          ∫12eu du\int 12 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 12eu12 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12ex1212 e^{\frac{x}{12}}

        Por lo tanto, el resultado es: 144ex12144 e^{\frac{x}{12}}

      1. que u=3x4u = \frac{3 x}{4}.

        Luego que du=3dx4du = \frac{3 dx}{4} y ponemos 4du3\frac{4 du}{3}:

        ∫4eu3 du\int \frac{4 e^{u}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 4eu3\frac{4 e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4e3x43\frac{4 e^{\frac{3 x}{4}}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8e−x4 dx=8∫e−x4 dx\int 8 e^{- \frac{x}{4}}\, dx = 8 \int e^{- \frac{x}{4}}\, dx

        1. que u=−x4u = - \frac{x}{4}.

          Luego que du=−dx4du = - \frac{dx}{4} y ponemos −4du- 4 du:

          ∫(−4eu) du\int \left(- 4 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −4eu- 4 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4e−x4- 4 e^{- \frac{x}{4}}

        Por lo tanto, el resultado es: −32e−x4- 32 e^{- \frac{x}{4}}

      El resultado es: 72e5x125+144ex12+4e3x43−32e−x4\frac{72 e^{\frac{5 x}{12}}}{5} + 144 e^{\frac{x}{12}} + \frac{4 e^{\frac{3 x}{4}}}{3} - 32 e^{- \frac{x}{4}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e(−1)x4(ex3+2)3=6e5x12+12ex12+e3x4+8e−x4e^{\frac{\left(-1\right) x}{4}} \left(e^{\frac{x}{3}} + 2\right)^{3} = 6 e^{\frac{5 x}{12}} + 12 e^{\frac{x}{12}} + e^{\frac{3 x}{4}} + 8 e^{- \frac{x}{4}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6e5x12 dx=6∫e5x12 dx\int 6 e^{\frac{5 x}{12}}\, dx = 6 \int e^{\frac{5 x}{12}}\, dx

        1. que u=5x12u = \frac{5 x}{12}.

          Luego que du=5dx12du = \frac{5 dx}{12} y ponemos 12du5\frac{12 du}{5}:

          ∫12eu5 du\int \frac{12 e^{u}}{5}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 12eu5\frac{12 e^{u}}{5}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12e5x125\frac{12 e^{\frac{5 x}{12}}}{5}

        Por lo tanto, el resultado es: 72e5x125\frac{72 e^{\frac{5 x}{12}}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12ex12 dx=12∫ex12 dx\int 12 e^{\frac{x}{12}}\, dx = 12 \int e^{\frac{x}{12}}\, dx

        1. que u=x12u = \frac{x}{12}.

          Luego que du=dx12du = \frac{dx}{12} y ponemos 12du12 du:

          ∫12eu du\int 12 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 12eu12 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          12ex1212 e^{\frac{x}{12}}

        Por lo tanto, el resultado es: 144ex12144 e^{\frac{x}{12}}

      1. que u=3x4u = \frac{3 x}{4}.

        Luego que du=3dx4du = \frac{3 dx}{4} y ponemos 4du3\frac{4 du}{3}:

        ∫4eu3 du\int \frac{4 e^{u}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: 4eu3\frac{4 e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        4e3x43\frac{4 e^{\frac{3 x}{4}}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8e−x4 dx=8∫e−x4 dx\int 8 e^{- \frac{x}{4}}\, dx = 8 \int e^{- \frac{x}{4}}\, dx

        1. que u=−x4u = - \frac{x}{4}.

          Luego que du=−dx4du = - \frac{dx}{4} y ponemos −4du- 4 du:

          ∫(−4eu) du\int \left(- 4 e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −4eu- 4 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −4e−x4- 4 e^{- \frac{x}{4}}

        Por lo tanto, el resultado es: −32e−x4- 32 e^{- \frac{x}{4}}

      El resultado es: 72e5x125+144ex12+4e3x43−32e−x4\frac{72 e^{\frac{5 x}{12}}}{5} + 144 e^{\frac{x}{12}} + \frac{4 e^{\frac{3 x}{4}}}{3} - 32 e^{- \frac{x}{4}}

  2. Ahora simplificar:

    4(54e2x3+540ex3+5ex−120)e−x415\frac{4 \left(54 e^{\frac{2 x}{3}} + 540 e^{\frac{x}{3}} + 5 e^{x} - 120\right) e^{- \frac{x}{4}}}{15}

  3. Añadimos la constante de integración:

    4(54e2x3+540ex3+5ex−120)e−x415+constant\frac{4 \left(54 e^{\frac{2 x}{3}} + 540 e^{\frac{x}{3}} + 5 e^{x} - 120\right) e^{- \frac{x}{4}}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4(54e2x3+540ex3+5ex−120)e−x415+constant\frac{4 \left(54 e^{\frac{2 x}{3}} + 540 e^{\frac{x}{3}} + 5 e^{x} - 120\right) e^{- \frac{x}{4}}}{15}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                                                             
 |         3                                      3*x       5*x
 | / x    \   -x               -x         x       ---       ---
 | | -    |   ---              ---        --       4         12
 | | 3    |    4                4         12   4*e      72*e   
 | \E  + 2/ *E    dx = C - 32*e    + 144*e   + ------ + -------
 |                                               3         5   
/
∫e(−1)x4(ex3+2)3 dx=C+72e5x125+144ex12+4e3x43−32e−x4\int e^{\frac{\left(-1\right) x}{4}} \left(e^{\frac{x}{3}} + 2\right)^{3}\, dx = C + \frac{72 e^{\frac{5 x}{12}}}{5} + 144 e^{\frac{x}{12}} + \frac{4 e^{\frac{3 x}{4}}}{3} - 32 e^{- \frac{x}{4}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900200
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                   3/4       5/12
  1916       -1/4        1/12   4*e      72*e    
- ---- - 32*e     + 144*e     + ------ + --------
   15                             3         5
−191615−32e14+4e343+72e5125+144e112- \frac{1916}{15} - \frac{32}{e^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 e^{\frac{3}{4}}}{3} + \frac{72 e^{\frac{5}{12}}}{5} + 144 e^{\frac{1}{12}} 
=
= 
                                   3/4       5/12
  1916       -1/4        1/12   4*e      72*e    
- ---- - 32*e     + 144*e     + ------ + --------
   15                             3         5
−191615−32e14+4e343+72e5125+144e112- \frac{1916}{15} - \frac{32}{e^{\frac{1}{4}}} + \frac{4 e^{\frac{3}{4}}}{3} + \frac{72 e^{\frac{5}{12}}}{5} + 144 e^{\frac{1}{12}} 
-1916/15 - 32*exp(-1/4) + 144*exp(1/12) + 4*exp(3/4)/3 + 72*exp(5/12)/5
Respuesta numérica [src] 
28.5252052962458
28.5252052962458

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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