Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x+3)/ ln(2*x)/ ln(2*x)*(x+3)

Integral de ln(2*x)*(x+3) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                    
  /                    
 |                     
 |  log(2*x)*(x + 3) dx
 |                     
/                      
0
∫01(x+3)log⁡(2x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(x + 3\right) \log{\left(2 x \right)}\, dx 
Integral(log(2*x)*(x + 3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+3)log⁡(2x)=xlog⁡(x)+xlog⁡(2)+3log⁡(x)+3log⁡(2)\left(x + 3\right) \log{\left(2 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)} + 3 \log{\left(x \right)} + 3 \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(2) dx=log⁡(2)∫x dx\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)2\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3log⁡(x) dx=3∫log⁡(x) dx\int 3 \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 3xlog⁡(x)−3x3 x \log{\left(x \right)} - 3 x

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫3log⁡(2) dx=3xlog⁡(2)\int 3 \log{\left(2 \right)}\, dx = 3 x \log{\left(2 \right)}

      El resultado es: x2log⁡(x)2−x24+x2log⁡(2)2+3xlog⁡(x)−3x+3xlog⁡(2)\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 3 x \log{\left(2 \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(2x)u{\left(x \right)} = \log{\left(2 x \right)} y que dv⁡(x)=x+3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x + 3.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integramos término a término:

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫3 dx=3x\int 3\, dx = 3 x

        El resultado es: x22+3x\frac{x^{2}}{2} + 3 x

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x22+3xx=x2+3\frac{\frac{x^{2}}{2} + 3 x}{x} = \frac{x}{2} + 3

    3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫x2 dx=∫x dx2\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x24\frac{x^{2}}{4}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫3 dx=3x\int 3\, dx = 3 x

      El resultado es: x24+3x\frac{x^{2}}{4} + 3 x

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (x+3)log⁡(2x)=xlog⁡(x)+xlog⁡(2)+3log⁡(x)+3log⁡(2)\left(x + 3\right) \log{\left(2 x \right)} = x \log{\left(x \right)} + x \log{\left(2 \right)} + 3 \log{\left(x \right)} + 3 \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

          1. que u=2uu = 2 u.

            Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(2) dx=log⁡(2)∫x dx\int x \log{\left(2 \right)}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(2)2\frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3log⁡(x) dx=3∫log⁡(x) dx\int 3 \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \log{\left(x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

          Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        Por lo tanto, el resultado es: 3xlog⁡(x)−3x3 x \log{\left(x \right)} - 3 x

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫3log⁡(2) dx=3xlog⁡(2)\int 3 \log{\left(2 \right)}\, dx = 3 x \log{\left(2 \right)}

      El resultado es: x2log⁡(x)2−x24+x2log⁡(2)2+3xlog⁡(x)−3x+3xlog⁡(2)\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 3 x \log{\left(2 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    x(2xlog⁡(x)−x+xlog⁡(4)+12log⁡(x)−12+log⁡(4096))4\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(4 \right)} + 12 \log{\left(x \right)} - 12 + \log{\left(4096 \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(2xlog⁡(x)−x+xlog⁡(4)+12log⁡(x)−12+log⁡(4096))4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(4 \right)} + 12 \log{\left(x \right)} - 12 + \log{\left(4096 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(2xlog⁡(x)−x+xlog⁡(4)+12log⁡(x)−12+log⁡(4096))4+constant\frac{x \left(2 x \log{\left(x \right)} - x + x \log{\left(4 \right)} + 12 \log{\left(x \right)} - 12 + \log{\left(4096 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 2    2           2                                 
 |                                 x    x *log(2)   x *log(x)                          
 | log(2*x)*(x + 3) dx = C - 3*x - -- + --------- + --------- + 3*x*log(2) + 3*x*log(x)
 |                                 4        2           2                              
/
∫(x+3)log⁡(2x) dx=C+x2log⁡(x)2−x24+x2log⁡(2)2+3xlog⁡(x)−3x+3xlog⁡(2)\int \left(x + 3\right) \log{\left(2 x \right)}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x^{2} \log{\left(2 \right)}}{2} + 3 x \log{\left(x \right)} - 3 x + 3 x \log{\left(2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-5050
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  13   7*log(2)
- -- + --------
  4       2
−134+7log⁡(2)2- \frac{13}{4} + \frac{7 \log{\left(2 \right)}}{2} 
=
= 
  13   7*log(2)
- -- + --------
  4       2
−134+7log⁡(2)2- \frac{13}{4} + \frac{7 \log{\left(2 \right)}}{2} 
-13/4 + 7*log(2)/2
Respuesta numérica [src] 
-0.823984868040191
-0.823984868040191

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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