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Resolución de integrales/ (cosx)/ ((cosx)-1)senx

Integral de ((cosx)-1)senx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
  /                       
 |                        
 |  (cos(x) - 1)*sin(x) dx
 |                        
/                         
0
∫01(cos⁡(x)−1)sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral((cos(x) - 1)*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos dudu:

      ∫(1−u) du\int \left(1 - u\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u) du=−∫u du\int \left(- u\right)\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        El resultado es: −u22+u- \frac{u^{2}}{2} + u

      Si ahora sustituir uu más en:

      −cos⁡2(x)2+cos⁡(x)- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(x)−1)sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −cos⁡2(x)2+cos⁡(x)- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (cos⁡(x)−1)sin⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)−sin⁡(x)\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        Luego que du=−sin⁡(x)dxdu = - \sin{\left(x \right)} dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡2(x)2- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−sin⁡(x)) dx=−∫sin⁡(x) dx\int \left(- \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del seno es un coseno menos:

          ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(x)\cos{\left(x \right)}

      El resultado es: −cos⁡2(x)2+cos⁡(x)- \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}

  2. Ahora simplificar:

    (2−cos⁡(x))cos⁡(x)2\frac{\left(2 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (2−cos⁡(x))cos⁡(x)2+constant\frac{\left(2 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(2−cos⁡(x))cos⁡(x)2+constant\frac{\left(2 - \cos{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                2            
 |                              cos (x)         
 | (cos(x) - 1)*sin(x) dx = C - ------- + cos(x)
 |                                 2            
/
∫(cos⁡(x)−1)sin⁡(x) dx=C−cos⁡2(x)2+cos⁡(x)\int \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right) \sin{\left(x \right)}\, dx = C - \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2} + \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
        2            
     sin (1)         
-1 + ------- + cos(1)
        2
−1+sin⁡2(1)2+cos⁡(1)-1 + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \cos{\left(1 \right)} 
=
= 
        2            
     sin (1)         
-1 + ------- + cos(1)
        2
−1+sin⁡2(1)2+cos⁡(1)-1 + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \cos{\left(1 \right)} 
-1 + sin(1)^2/2 + cos(1)
Respuesta numérica [src] 
-0.105660984995075
-0.105660984995075

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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