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Resolución de integrales/ x^2+2/ e^(x/2)/ (x^2+2)×e^(x/2)

Integral de (x^2+2)×e^(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |            x   
 |            -   
 |  / 2    \  2   
 |  \x  + 2/*E  dx
 |                
/                 
0
∫01ex2(x2+2) dx\int\limits_{0}^{1} e^{\frac{x}{2}} \left(x^{2} + 2\right)\, dx 
Integral((x^2 + 2)*E^(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex2(x2+2)=x2ex2+2ex2e^{\frac{x}{2}} \left(x^{2} + 2\right) = x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 2 e^{\frac{x}{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=4xu{\left(x \right)} = 4 x y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

        Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8ex2 dx=8∫ex2 dx\int 8 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 8 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 16ex216 e^{\frac{x}{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2ex2 dx=2∫ex2 dx\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 4ex24 e^{\frac{x}{2}}

      El resultado es: 2x2ex2−8xex2+20ex22 x^{2} e^{\frac{x}{2}} - 8 x e^{\frac{x}{2}} + 20 e^{\frac{x}{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      ex2(x2+2)=x2ex2+2ex2e^{\frac{x}{2}} \left(x^{2} + 2\right) = x^{2} e^{\frac{x}{2}} + 2 e^{\frac{x}{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=x2u{\left(x \right)} = x^{2} y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

        Entonces du⁡(x)=2x\operatorname{du}{\left(x \right)} = 2 x.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(x)=4xu{\left(x \right)} = 4 x y que dv⁡(x)=ex2\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{\frac{x}{2}}.

        Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

        Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫8ex2 dx=8∫ex2 dx\int 8 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 8 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 16ex216 e^{\frac{x}{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2ex2 dx=2∫ex2 dx\int 2 e^{\frac{x}{2}}\, dx = 2 \int e^{\frac{x}{2}}\, dx

        1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

          Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2eu du\int 2 e^{u}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2ex22 e^{\frac{x}{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: 4ex24 e^{\frac{x}{2}}

      El resultado es: 2x2ex2−8xex2+20ex22 x^{2} e^{\frac{x}{2}} - 8 x e^{\frac{x}{2}} + 20 e^{\frac{x}{2}}

  2. Ahora simplificar:

    2(x2−4x+10)ex22 \left(x^{2} - 4 x + 10\right) e^{\frac{x}{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(x2−4x+10)ex2+constant2 \left(x^{2} - 4 x + 10\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(x2−4x+10)ex2+constant2 \left(x^{2} - 4 x + 10\right) e^{\frac{x}{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                                              
 |           x              x        x         x
 |           -              -        -         -
 | / 2    \  2              2        2      2  2
 | \x  + 2/*E  dx = C + 20*e  - 8*x*e  + 2*x *e 
 |                                              
/
∫ex2(x2+2) dx=C+2x2ex2−8xex2+20ex2\int e^{\frac{x}{2}} \left(x^{2} + 2\right)\, dx = C + 2 x^{2} e^{\frac{x}{2}} - 8 x e^{\frac{x}{2}} + 20 e^{\frac{x}{2}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90025
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
          1/2
-20 + 14*e
−20+14e12-20 + 14 e^{\frac{1}{2}} 
=
= 
          1/2
-20 + 14*e
−20+14e12-20 + 14 e^{\frac{1}{2}} 
-20 + 14*exp(1/2)
Respuesta numérica [src] 
3.08209778980179
3.08209778980179

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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