Integral de (sqrt(8-2x^2)) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sqrt{8 - 2 x^{2}} = \sqrt{2} \sqrt{4 - x^{2}}$

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \sqrt{2} \sqrt{4 - x^{2}}\, dx = \sqrt{2} \int \sqrt{4 - x^{2}}\, dx$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=4*cos(_theta)**2, substep=ConstantTimesRule(constant=4, other=cos(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=4*cos(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=sqrt(4 - x**2), symbol=x)

   Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \left(\begin{cases} \frac{x \sqrt{4 - x^{2}}}{2} + 2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right)$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{\sqrt{2} \left(x \sqrt{4 - x^{2}} + 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{2} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{\sqrt{2} \left(x \sqrt{4 - x^{2}} + 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{2} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{\sqrt{2} \left(x \sqrt{4 - x^{2}} + 4 \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)}{2} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$