Integral de (6-7x)⁵dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 6 - 7 x$.

      Luego que $du = - 7 dx$ y ponemos $- \frac{du}{7}$:

      $\int \left(- \frac{u^{5}}{7}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{5}\, du = - \frac{\int u^{5}\, du}{7}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{42}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(6 - 7 x\right)^{6}}{42}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(6 - 7 x\right)^{5} = - 16807 x^{5} + 72030 x^{4} - 123480 x^{3} + 105840 x^{2} - 45360 x + 7776$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 16807 x^{5}\right)\, dx = - 16807 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16807 x^{6}}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 72030 x^{4}\, dx = 72030 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $14406 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 123480 x^{3}\right)\, dx = - 123480 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 30870 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 105840 x^{2}\, dx = 105840 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $35280 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 45360 x\right)\, dx = - 45360 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 22680 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 7776\, dx = 7776 x$

      El resultado es: $- \frac{16807 x^{6}}{6} + 14406 x^{5} - 30870 x^{4} + 35280 x^{3} - 22680 x^{2} + 7776 x$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(7 x - 6\right)^{6}}{42}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(7 x - 6\right)^{6}}{42}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(7 x - 6\right)^{6}}{42}+ \mathrm{constant}$