Integral de (x^2+1)(x^3+3x)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3} + 3 x$.

      Luego que $du = \left(3 x^{2} + 3\right) dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{4}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(x^{3} + 3 x\right)^{5}}{15}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x^{2} + 1\right) \left(x^{3} + 3 x\right)^{4} = x^{14} + 13 x^{12} + 66 x^{10} + 162 x^{8} + 189 x^{6} + 81 x^{4}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13 x^{12}\, dx = 13 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 66 x^{10}\, dx = 66 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 162 x^{8}\, dx = 162 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $18 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 189 x^{6}\, dx = 189 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $27 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 81 x^{4}\, dx = 81 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{81 x^{5}}{5}$

      El resultado es: $\frac{x^{15}}{15} + x^{13} + 6 x^{11} + 18 x^{9} + 27 x^{7} + \frac{81 x^{5}}{5}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{5} \left(x^{2} + 3\right)^{5}}{15}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{5} \left(x^{2} + 3\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{5} \left(x^{2} + 3\right)^{5}}{15}+ \mathrm{constant}$