Integral de x^2arcsin(x/2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{2}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x^{3}}{6 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx = \frac{\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx}{6}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{2 x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{x^{3}}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx$

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=8*sin(_theta)**3, substep=ConstantTimesRule(constant=8, other=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(1 - cos(_theta)**2)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), context=8*sin(_theta)**3, symbol=_theta), restriction=(x > -2) & (x < 2), context=x**3/sqrt(4 - x**2), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(\begin{cases} \frac{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 \sqrt{4 - x^{2}} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}\right)$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\begin{cases} \frac{\left(4 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3} - 4 \sqrt{4 - x^{2}} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}}{3}$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left(x^{2} + 8\right)}{9} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left(x^{2} + 8\right)}{9} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{x^{3} \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{\sqrt{4 - x^{2}} \left(x^{2} + 8\right)}{9} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}+ \mathrm{constant}$