Integral de (x^5)/(1+x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u}{3 u + 3}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{3 u + 3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{u}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{3 \left(u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u + 1}\, du}{3}$

            1. que $u = u + 1$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(u + 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u}{3} - \frac{\log{\left(u + 1 \right)}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{5}}{x^{3} + 1} = x^{2} - \frac{2 x - 1}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)} - \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2 x - 1}{3 \left(x^{2} - x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x + 1}\, dx}{3}$

         1. que $u = x^{2} - x + 1$.

            Luego que $du = \left(2 x - 1\right) dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{3 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{3}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{3} - \frac{\log{\left(x^{2} - x + 1 \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{\log{\left(x^{3} + 1 \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$