Integral de 2cos(lnx)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

   Método #2

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- 2 du$:

      $\int \left(- \frac{2 \cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du = - 2 \int \frac{\cos{\left(\log{\left(\frac{1}{u} \right)} \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\cos{\left(\log{\left(u \right)} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\cos{\left(\log{\left(u \right)} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\cos{\left(\log{\left(u \right)} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(u \right)}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

                  $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\sin{\left(\log{\left(u \right)} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(\log{\left(u \right)} \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\sin{\left(\log{\left(u \right)} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin{\left(\log{\left(u \right)} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sin{\left(\log{\left(x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$