Integral de ((x-7)^3)*((2/3)/(x/18)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2}{3 \frac{x}{18}} \left(x - 7\right)^{3} = 12 x^{2} - 252 x + 1764 - \frac{4116}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 252 x\right)\, dx = - 252 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 126 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1764\, dx = 1764 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4116}{x}\right)\, dx = - 4116 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4116 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $4 x^{3} - 126 x^{2} + 1764 x - 4116 \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2}{3 \frac{x}{18}} \left(x - 7\right)^{3} = \frac{12 x^{3} - 252 x^{2} + 1764 x - 4116}{x}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{12 x^{3} - 252 x^{2} + 1764 x - 4116}{x} = 12 x^{2} - 252 x + 1764 - \frac{4116}{x}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 12 x^{2}\, dx = 12 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 252 x\right)\, dx = - 252 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 126 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1764\, dx = 1764 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{4116}{x}\right)\, dx = - 4116 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4116 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $4 x^{3} - 126 x^{2} + 1764 x - 4116 \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $4 x^{3} - 126 x^{2} + 1764 x - 4116 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$4 x^{3} - 126 x^{2} + 1764 x - 4116 \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$