Integral de cos(x)*(x^3) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = x^{3}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = 3 x^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 6 x$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

3. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = - 6 x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral del coseno es seno:

      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

   Ahora resolvemos podintegral.

4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \left(- 6 \sin{\left(x \right)}\right)\, dx = - 6 \int \sin{\left(x \right)}\, dx$

   1. La integral del seno es un coseno menos:

      $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

   Por lo tanto, el resultado es: $6 \cos{\left(x \right)}$

5. Añadimos la constante de integración:

   $x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 x \sin{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{3} \sin{\left(x \right)} + 3 x^{2} \cos{\left(x \right)} - 6 x \sin{\left(x \right)} - 6 \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$