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Resolución de integrales/ sin(x)/ x^3*sin(x)

Integral de x^3*sin(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |   3          
 |  x *sin(x) dx
 |              
/               
0
∫01x3sin⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} x^{3} \sin{\left(x \right)}\, dx 
Integral(x^3*sin(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=x3u{\left(x \right)} = x^{3} y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=3x2\operatorname{du}{\left(x \right)} = 3 x^{2}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=−3x2u{\left(x \right)} = - 3 x^{2} y que dv⁡(x)=cos⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=−6x\operatorname{du}{\left(x \right)} = - 6 x.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  3. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=−6xu{\left(x \right)} = - 6 x y que dv⁡(x)=sin⁡(x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

    Entonces du⁡(x)=−6\operatorname{du}{\left(x \right)} = -6.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral del seno es un coseno menos:

      ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

    Ahora resolvemos podintegral.

  4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    ∫6cos⁡(x) dx=6∫cos⁡(x) dx\int 6 \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

    1. La integral del coseno es seno:

      ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

    Por lo tanto, el resultado es: 6sin⁡(x)6 \sin{\left(x \right)}

  5. Añadimos la constante de integración:

    −x3cos⁡(x)+3x2sin⁡(x)+6xcos⁡(x)−6sin⁡(x)+constant- x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−x3cos⁡(x)+3x2sin⁡(x)+6xcos⁡(x)−6sin⁡(x)+constant- x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                  
 |                                                                   
 |  3                             3             2                    
 | x *sin(x) dx = C - 6*sin(x) - x *cos(x) + 3*x *sin(x) + 6*x*cos(x)
 |                                                                   
/
∫x3sin⁡(x) dx=C−x3cos⁡(x)+3x2sin⁡(x)+6xcos⁡(x)−6sin⁡(x)\int x^{3} \sin{\left(x \right)}\, dx = C - x^{3} \cos{\left(x \right)} + 3 x^{2} \sin{\left(x \right)} + 6 x \cos{\left(x \right)} - 6 \sin{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-3*sin(1) + 5*cos(1)
−3sin⁡(1)+5cos⁡(1)- 3 \sin{\left(1 \right)} + 5 \cos{\left(1 \right)} 
=
= 
-3*sin(1) + 5*cos(1)
−3sin⁡(1)+5cos⁡(1)- 3 \sin{\left(1 \right)} + 5 \cos{\left(1 \right)} 
-3*sin(1) + 5*cos(1)
Respuesta numérica [src] 
0.177098574917009
0.177098574917009

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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