Integral de cos^3x/sin^2x dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du = - \int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            El resultado es: $u + \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u - \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - \int \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

            El resultado es: $u + \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = - \cos{\left(x \right)} + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sin{\left(x \right)}$

      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}+ \mathrm{constant}$