Integral de cos^5(x/2) dx
Solución
Solución detallada
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Vuelva a escribir el integrando:
cos5(2x)=(1−sin2(2x))2cos(2x)
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Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos du:
∫(2sin4(u)cos(u)−4sin2(u)cos(u)+2cos(u))du
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Integramos término a término:
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2sin4(u)cos(u)du=2∫sin4(u)cos(u)du
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que u=sin(u).
Luego que du=cos(u)du y ponemos du:
∫u4du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u4du=5u5
Si ahora sustituir u más en:
5sin5(u)
Por lo tanto, el resultado es: 52sin5(u)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−4sin2(u)cos(u))du=−4∫sin2(u)cos(u)du
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que u=sin(u).
Luego que du=cos(u)du y ponemos du:
∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Si ahora sustituir u más en:
3sin3(u)
Por lo tanto, el resultado es: −34sin3(u)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫2cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
El resultado es: 52sin5(u)−34sin3(u)+2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
52sin5(2x)−34sin3(2x)+2sin(2x)
Método #2
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−sin2(2x))2cos(2x)=sin4(2x)cos(2x)−2sin2(2x)cos(2x)+cos(2x)
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Integramos término a término:
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que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u4du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u4du=2∫u4du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u4du=5u5
Por lo tanto, el resultado es: 52u5
Si ahora sustituir u más en:
52sin5(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2sin2(2x)cos(2x))dx=−2∫sin2(2x)cos(2x)dx
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que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u2du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=2∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: 32u3
Si ahora sustituir u más en:
32sin3(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −34sin3(2x)
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
El resultado es: 52sin5(2x)−34sin3(2x)+2sin(2x)
Método #3
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Vuelva a escribir el integrando:
(1−sin2(2x))2cos(2x)=sin4(2x)cos(2x)−2sin2(2x)cos(2x)+cos(2x)
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Integramos término a término:
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que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u4du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u4du=2∫u4du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u4du=5u5
Por lo tanto, el resultado es: 52u5
Si ahora sustituir u más en:
52sin5(2x)
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫(−2sin2(2x)cos(2x))dx=−2∫sin2(2x)cos(2x)dx
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que u=sin(2x).
Luego que du=2cos(2x)dx y ponemos 2du:
∫2u2du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫u2du=2∫u2du
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Integral un es n+1un+1 when n=−1:
∫u2du=3u3
Por lo tanto, el resultado es: 32u3
Si ahora sustituir u más en:
32sin3(2x)
Por lo tanto, el resultado es: −34sin3(2x)
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que u=2x.
Luego que du=2dx y ponemos 2du:
∫2cos(u)du
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La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
∫cos(u)du=2∫cos(u)du
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La integral del coseno es seno:
∫cos(u)du=sin(u)
Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)
Si ahora sustituir u más en:
2sin(2x)
El resultado es: 52sin5(2x)−34sin3(2x)+2sin(2x)
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Ahora simplificar:
30(−3sin2(x)+14cos(x)+46)sin(2x)
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Añadimos la constante de integración:
30(−3sin2(x)+14cos(x)+46)sin(2x)+constant
Respuesta:
30(−3sin2(x)+14cos(x)+46)sin(2x)+constant
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ 3/x\ 5/x\
| 4*sin |-| 2*sin |-|
| 5/x\ /x\ \2/ \2/
| cos |-| dx = C + 2*sin|-| - --------- + ---------
| \2/ \2/ 3 5
|
/
∫cos5(2x)dx=C+52sin5(2x)−34sin3(2x)+2sin(2x)
Gráfica
3 5
4*sin (1/2) 2*sin (1/2)
2*sin(1/2) - ----------- + -----------
3 5
−34sin3(21)+52sin5(21)+2sin(21)
=
3 5
4*sin (1/2) 2*sin (1/2)
2*sin(1/2) - ----------- + -----------
3 5
−34sin3(21)+52sin5(21)+2sin(21)
2*sin(1/2) - 4*sin(1/2)^3/3 + 2*sin(1/2)^5/5
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.