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Resolución de integrales/ cos^5/ cos^5(x/2)

Integral de cos^5(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     5/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0
∫01cos⁡5(x2) dx\int\limits_{0}^{1} \cos^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral(cos(x/2)^5, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    cos⁡5(x2)=(1−sin⁡2(x2))2cos⁡(x2)\cos^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

      Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos dudu:

      ∫(2sin⁡4(u)cos⁡(u)−4sin⁡2(u)cos⁡(u)+2cos⁡(u)) du\int \left(2 \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} - 4 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2sin⁡4(u)cos⁡(u) du=2∫sin⁡4(u)cos⁡(u) du\int 2 \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

          1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫u4 du\int u^{4}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡5(u)5\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡5(u)5\frac{2 \sin^{5}{\left(u \right)}}{5}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−4sin⁡2(u)cos⁡(u)) du=−4∫sin⁡2(u)cos⁡(u) du\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 4 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du

          1. que u=sin⁡(u)u = \sin{\left(u \right)}.

            Luego que du=cos⁡(u)dudu = \cos{\left(u \right)} du y ponemos dudu:

            ∫u2 du\int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡3(u)3\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡3(u)3- \frac{4 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        El resultado es: 2sin⁡5(u)5−4sin⁡3(u)3+2sin⁡(u)\frac{2 \sin^{5}{\left(u \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + 2 \sin{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2sin⁡5(x2)5−4sin⁡3(x2)3+2sin⁡(x2)\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x2))2cos⁡(x2)=sin⁡4(x2)cos⁡(x2)−2sin⁡2(x2)cos⁡(x2)+cos⁡(x2)\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(x2)u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x2)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u4 du\int 2 u^{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=2∫u4 du\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u55\frac{2 u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡5(x2)5\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡2(x2)cos⁡(x2)) dx=−2∫sin⁡2(x2)cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x2)u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x2)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2u2 du\int 2 u^{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=2∫u2 du\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u33\frac{2 u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡3(x2)3\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡3(x2)3- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 2sin⁡5(x2)5−4sin⁡3(x2)3+2sin⁡(x2)\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−sin⁡2(x2))2cos⁡(x2)=sin⁡4(x2)cos⁡(x2)−2sin⁡2(x2)cos⁡(x2)+cos⁡(x2)\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=sin⁡(x2)u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        Luego que du=cos⁡(x2)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u4 du\int 2 u^{4}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u4 du=2∫u4 du\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫u4 du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u55\frac{2 u^{5}}{5}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡5(x2)5\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2sin⁡2(x2)cos⁡(x2)) dx=−2∫sin⁡2(x2)cos⁡(x2) dx\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx

        1. que u=sin⁡(x2)u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Luego que du=cos⁡(x2)dx2du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2} y ponemos 2du2 du:

          ∫2u2 du\int 2 u^{2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u2 du=2∫u2 du\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u33\frac{2 u^{3}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin⁡3(x2)3\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}

        Por lo tanto, el resultado es: −4sin⁡3(x2)3- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}

      1. que u=x2u = \frac{x}{2}.

        Luego que du=dx2du = \frac{dx}{2} y ponemos 2du2 du:

        ∫2cos⁡(u) du\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=2∫cos⁡(u) du\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(u)2 \sin{\left(u \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2sin⁡(x2)2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

      El resultado es: 2sin⁡5(x2)5−4sin⁡3(x2)3+2sin⁡(x2)\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}

  3. Ahora simplificar:

    (−3sin⁡2(x)+14cos⁡(x)+46)sin⁡(x2)30\frac{\left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + 46\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{30}

  4. Añadimos la constante de integración:

    (−3sin⁡2(x)+14cos⁡(x)+46)sin⁡(x2)30+constant\frac{\left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + 46\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{30}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−3sin⁡2(x)+14cos⁡(x)+46)sin⁡(x2)30+constant\frac{\left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + 46\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{30}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 3/x\        5/x\
 |                             4*sin |-|   2*sin |-|
 |    5/x\               /x\         \2/         \2/
 | cos |-| dx = C + 2*sin|-| - --------- + ---------
 |     \2/               \2/       3           5    
 |                                                  
/
∫cos⁡5(x2) dx=C+2sin⁡5(x2)5−4sin⁡3(x2)3+2sin⁡(x2)\int \cos^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9002
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                  3             5     
             4*sin (1/2)   2*sin (1/2)
2*sin(1/2) - ----------- + -----------
                  3             5
−4sin⁡3(12)3+2sin⁡5(12)5+2sin⁡(12)- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5} + 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
=
= 
                  3             5     
             4*sin (1/2)   2*sin (1/2)
2*sin(1/2) - ----------- + -----------
                  3             5
−4sin⁡3(12)3+2sin⁡5(12)5+2sin⁡(12)- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5} + 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)} 
2*sin(1/2) - 4*sin(1/2)^3/3 + 2*sin(1/2)^5/5
Respuesta numérica [src] 
0.822055182400364
0.822055182400364

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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