Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de (-6+9*x^2)/x^2
Integral de 3*exp(-3*x)
Integral de (3x+1)dx
Integral de √(2+x^2)
Expresiones idénticas
cos^ cinco (x/ dos)
coseno de en el grado 5(x dividir por 2)
coseno de en el grado cinco (x dividir por dos)
cos5(x/2)
cos5x/2
cos⁵(x/2)
cos^5x/2
cos^5(x dividir por 2)
cos^5(x/2)dx
Expresiones con funciones
Coseno cos
cos(x)*sin(x)
cos(x)/(sin(x)^2)
cos(x)/sin^7(x)
cos(x)/sin(x+1)^2
cos(x)/(sin(x)+1/2)^(2/3)

Resolución de integrales/ cos^5/ cos^5(x/2)

Integral de cos^5(x/2) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1           
  /           
 |            
 |     5/x\   
 |  cos |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cos^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Integral(cos(x/2)^5, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\cos^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \frac{x}{2}$ .
  
  Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $du$ :
  
  $\int \left(2 \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} - 4 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)} + 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du$
  1. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin^{4}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      que $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{5}{\left(u \right)}}{5}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 4 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      que $u = \sin{\left(u \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
    El resultado es: $\frac{2 \sin^{5}{\left(u \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3} + 2 \sin{\left(u \right)}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
    
    Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 u^{4}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 u^{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
  1. que $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  El resultado es: $\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(1 - \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)^{2} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} = \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} - 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} + \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
    
    Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 u^{4}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = 2 \int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$
    1. que $u = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ .
      
      Luego que $du = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)} dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
      
      $\int 2 u^{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = 2 \int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{2 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$
  1. que $u = \frac{x}{2}$ .
    
    Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$ :
    
    $\int 2 \cos{\left(u \right)}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(u \right)}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
  El resultado es: $\frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + 46\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{30}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + 46\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} + 14 \cos{\left(x \right)} + 46\right) \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{30}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                 3/x\        5/x\
 |                             4*sin |-|   2*sin |-|
 |    5/x\               /x\         \2/         \2/
 | cos |-| dx = C + 2*sin|-| - --------- + ---------
 |     \2/               \2/       3           5    
 |                                                  
/

$$\int \cos^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

                  3             5     
             4*sin (1/2)   2*sin (1/2)
2*sin(1/2) - ----------- + -----------
                  3             5

$$- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5} + 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

                  3             5     
             4*sin (1/2)   2*sin (1/2)
2*sin(1/2) - ----------- + -----------
                  3             5

$$- \frac{4 \sin^{3}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{3} + \frac{2 \sin^{5}{\left(\frac{1}{2} \right)}}{5} + 2 \sin{\left(\frac{1}{2} \right)}$$

2*sin(1/2) - 4*sin(1/2)^3/3 + 2*sin(1/2)^5/5

Respuesta numérica [src]

0.822055182400364

0.822055182400364

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cos^5(x/2) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3