Integral de e^(2x)/sqrt(e^(4x)-25) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{2 x}$.

      Luego que $du = 2 e^{2 x} dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{2 \sqrt{u^{2} - 25}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 25}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 25}}\, du}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 25}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{\frac{u^{2}}{25} - 1}}\, du}{5}$

            1. que $u = \frac{u}{5}$.

               Luego que $du = \frac{du}{5}$ y ponemos $5 du$:

               $\int \frac{25}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{5}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du = 5 \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

                  InverseHyperbolicRule(func=acosh, context=1/sqrt(_u**2 - 1), symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: $5 \operatorname{acosh}{\left(u \right)}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $5 \operatorname{acosh}{\left(\frac{u}{5} \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{acosh}{\left(\frac{u}{5} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{u}{5} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{e^{2 x}}{5} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{e^{u}}{2 \sqrt{e^{2 u} - 25}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{u}}{\sqrt{e^{2 u} - 25}}\, du = \frac{\int \frac{e^{u}}{\sqrt{e^{2 u} - 25}}\, du}{2}$

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 25}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 25}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt{\frac{u^{2}}{25} - 1}}\, du}{5}$

               1. que $u = \frac{u}{5}$.

                  Luego que $du = \frac{du}{5}$ y ponemos $5 du$:

                  $\int \frac{25}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{5}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du = 5 \int \frac{1}{\sqrt{u^{2} - 1}}\, du$

                     InverseHyperbolicRule(func=acosh, context=1/sqrt(_u**2 - 1), symbol=_u)

                     Por lo tanto, el resultado es: $5 \operatorname{acosh}{\left(u \right)}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $5 \operatorname{acosh}{\left(\frac{u}{5} \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\operatorname{acosh}{\left(\frac{u}{5} \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{acosh}{\left(\frac{e^{u}}{5} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{e^{u}}{5} \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{e^{2 x}}{5} \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{e^{2 x}}{5} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\operatorname{acosh}{\left(\frac{e^{2 x}}{5} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$