Integral de x/(1+5x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\frac{x}{5 x + 1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{5 \left(5 x + 1\right)}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int \frac{1}{5}\, dx = \frac{x}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{5 \left(5 x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{5 x + 1}\, dx}{5}$

      1. que $u = 5 x + 1$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{1}{5 u}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{5}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{25}$

   El resultado es: $\frac{x}{5} - \frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{25}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x}{5} - \frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x}{5} - \frac{\log{\left(5 x + 1 \right)}}{25}+ \mathrm{constant}$