Integral de arcsin(x/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{2}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2 \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du = 2 \int \operatorname{asin}{\left(u \right)}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{asin}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. que $u = 1 - u^{2}$.

            Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \sqrt{1 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u \operatorname{asin}{\left(u \right)} + 2 \sqrt{1 - u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{x}{2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx = \frac{\int \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}}\, dx}{2}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 1 - \frac{x^{2}}{4}$.

            Luego que $du = - \frac{x dx}{2}$ y ponemos $- 2 du$:

            $\int \left(- \frac{2}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 4 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{\sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}} = \frac{2 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{2 x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx = 2 \int \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 4 - x^{2}$.

               Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{4 - x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{4 - x^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{4}}$

2. Ahora simplificar:

   $x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{asin}{\left(\frac{x}{2} \right)} + \sqrt{4 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$