Integral de ln(x^2-1) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x + 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $2 x + \log{\left(x - 1 \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$

3. Ahora simplificar:

   $x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(x^{2} - 1 \right)} - 2 x - \log{\left(x - 1 \right)} + \log{\left(x + 1 \right)}+ \mathrm{constant}$