Integral de (e^3+1/x)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{3} + \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- u\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = - \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{\left(e^{3} + \frac{1}{x}\right)^{2}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{3} + \frac{1}{x}}{x^{2}} = \frac{e^{3}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3}}{x^{2}}\, dx = e^{3} \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{3}}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $- \frac{e^{3}}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{3} + \frac{1}{x}}{x^{2}} = \frac{x e^{3} + 1}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x e^{3} + 1}{x^{3}} = \frac{e^{3}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3}}{x^{2}}\, dx = e^{3} \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{3}}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $- \frac{e^{3}}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #4

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{3} + \frac{1}{x}}{x^{2}} = \frac{1}{x x^{2}} + \frac{e^{3}}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u\, du = - \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 x^{2}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3}}{x^{2}}\, dx = e^{3} \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{3}}{x}$

      El resultado es: $- \frac{e^{3}}{x} - \frac{1}{2 x^{2}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(x e^{3} + 1\right)^{2}}{2 x^{2}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(x e^{3} + 1\right)^{2}}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x e^{3} + 1\right)^{2}}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$