Integral de sqrt(16t+2) dt

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 16 t + 2$.

      Luego que $du = 16 dt$ y ponemos $\frac{du}{16}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{16}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{16}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{24}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(16 t + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{24}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt{16 t + 2} = \sqrt{2} \sqrt{8 t + 1}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \sqrt{2} \sqrt{8 t + 1}\, dt = \sqrt{2} \int \sqrt{8 t + 1}\, dt$

      1. que $u = 8 t + 1$.

         Luego que $du = 8 dt$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{8}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{8}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{12}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\left(8 t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{12}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(8 t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{12}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(8 t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(8 t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(8 t + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{12}+ \mathrm{constant}$