Integral de x^2/(2-2*x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{2 - 2 x} = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(- \frac{1}{2}\right)\, dx = - \frac{x}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{2 - 2 x} = - \frac{x^{2}}{2 x - 2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{2}}{2 x - 2}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{2 x - 2}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{x^{2}}{2 x - 2} = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{2 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{2}$

            1. que $u = x - 1$.

               Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\log{\left(x - 1 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

         El resultado es: $\frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{2} - \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$