Integral de (y^3-2*y^2-y)/y^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - y$.

      Luego que $du = - dy$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{u^{2} + 2 u - 1}{u}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u^{2} + 2 u - 1}{u} = u + 2 - \frac{1}{u}$

      2. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 2\, du = 2 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$

         El resultado es: $\frac{u^{2}}{2} + 2 u - \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(- y \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- y + \left(y^{3} - 2 y^{2}\right)}{y^{2}} = y - 2 - \frac{1}{y}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-2\right)\, dy = - 2 y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y}\, dy$

         1. Integral $\frac{1}{y}$ es $\log{\left(y \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(y \right)}$

      El resultado es: $\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(y \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- y + \left(y^{3} - 2 y^{2}\right)}{y^{2}} = \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} = y - 2 - \frac{1}{y}$

   3. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-2\right)\, dy = - 2 y$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y}\, dy$

         1. Integral $\frac{1}{y}$ es $\log{\left(y \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(y \right)}$

      El resultado es: $\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(- y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(- y \right)}+ \mathrm{constant}$