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Resolución de integrales/ 2*y^2/ y^2-y/ (y^3-2*y^2-y)/y^2

Integral de (y^3-2*y^2-y)/y^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  3                 
  /                 
 |                  
 |   3      2       
 |  y  - 2*y  - y   
 |  ------------- dy
 |         2        
 |        y         
 |                  
/                   
1
∫13−y+(y3−2y2)y2 dy\int\limits_{1}^{3} \frac{- y + \left(y^{3} - 2 y^{2}\right)}{y^{2}}\, dy 
Integral((y^3 - 2*y^2 - y)/y^2, (y, 1, 3))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−yu = - y.

      Luego que du=−dydu = - dy y ponemos dudu:

      ∫u2+2u−1u du\int \frac{u^{2} + 2 u - 1}{u}\, du

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        u2+2u−1u=u+2−1u\frac{u^{2} + 2 u - 1}{u} = u + 2 - \frac{1}{u}

      2. Integramos término a término:

        1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫2 du=2u\int 2\, du = 2 u

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−1u) du=−∫1u du\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)- \log{\left(u \right)}

        El resultado es: u22+2u−log⁡(u)\frac{u^{2}}{2} + 2 u - \log{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      y22−2y−log⁡(−y)\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(- y \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −y+(y3−2y2)y2=y−2−1y\frac{- y + \left(y^{3} - 2 y^{2}\right)}{y^{2}} = y - 2 - \frac{1}{y}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2) dy=−2y\int \left(-2\right)\, dy = - 2 y

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1y) dy=−∫1y dy\int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y}\, dy

        1. Integral 1y\frac{1}{y} es log⁡(y)\log{\left(y \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(y)- \log{\left(y \right)}

      El resultado es: y22−2y−log⁡(y)\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(y \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      −y+(y3−2y2)y2=y2−2y−1y\frac{- y + \left(y^{3} - 2 y^{2}\right)}{y^{2}} = \frac{y^{2} - 2 y - 1}{y}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      y2−2y−1y=y−2−1y\frac{y^{2} - 2 y - 1}{y} = y - 2 - \frac{1}{y}

    3. Integramos término a término:

      1. Integral yny^{n} es yn+1n+1\frac{y^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫y dy=y22\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−2) dy=−2y\int \left(-2\right)\, dy = - 2 y

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−1y) dy=−∫1y dy\int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy = - \int \frac{1}{y}\, dy

        1. Integral 1y\frac{1}{y} es log⁡(y)\log{\left(y \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(y)- \log{\left(y \right)}

      El resultado es: y22−2y−log⁡(y)\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(y \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    y22−2y−log⁡(−y)+constant\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(- y \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

y22−2y−log⁡(−y)+constant\frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(- y \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                         
 |                                          
 |  3      2               2                
 | y  - 2*y  - y          y                 
 | ------------- dy = C + -- - log(-y) - 2*y
 |        2               2                 
 |       y                                  
 |                                          
/
∫−y+(y3−2y2)y2 dy=C+y22−2y−log⁡(−y)\int \frac{- y + \left(y^{3} - 2 y^{2}\right)}{y^{2}}\, dy = C + \frac{y^{2}}{2} - 2 y - \log{\left(- y \right)}
Simplificar
Gráfica
1.03.01.21.41.61.82.02.22.42.62.85-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-log(3)
−log⁡(3)- \log{\left(3 \right)} 
=
= 
-log(3)
−log⁡(3)- \log{\left(3 \right)} 
-log(3)
Respuesta numérica [src] 
-1.09861228866811
-1.09861228866811

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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