Integral de (8x+3)^12 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 8 x + 3$.

      Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u^{12}}{8}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{12}\, du = \frac{\int u^{12}\, du}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{13}}{104}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(8 x + 3\right)^{13}}{104}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(8 x + 3\right)^{12} = 68719476736 x^{12} + 309237645312 x^{11} + 637802643456 x^{10} + 797253304320 x^{9} + 672682475520 x^{8} + 403609485312 x^{7} + 176579149824 x^{6} + 56757583872 x^{5} + 13302558720 x^{4} + 2217093120 x^{3} + 249422976 x^{2} + 17006112 x + 531441$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 68719476736 x^{12}\, dx = 68719476736 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{68719476736 x^{13}}{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 309237645312 x^{11}\, dx = 309237645312 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $25769803776 x^{12}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 637802643456 x^{10}\, dx = 637802643456 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $57982058496 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 797253304320 x^{9}\, dx = 797253304320 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $79725330432 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 672682475520 x^{8}\, dx = 672682475520 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $74742497280 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 403609485312 x^{7}\, dx = 403609485312 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $50451185664 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 176579149824 x^{6}\, dx = 176579149824 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $25225592832 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 56757583872 x^{5}\, dx = 56757583872 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $9459597312 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 13302558720 x^{4}\, dx = 13302558720 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2660511744 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2217093120 x^{3}\, dx = 2217093120 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $554273280 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 249422976 x^{2}\, dx = 249422976 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $83140992 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 17006112 x\, dx = 17006112 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8503056 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 531441\, dx = 531441 x$

      El resultado es: $\frac{68719476736 x^{13}}{13} + 25769803776 x^{12} + 57982058496 x^{11} + 79725330432 x^{10} + 74742497280 x^{9} + 50451185664 x^{8} + 25225592832 x^{7} + 9459597312 x^{6} + 2660511744 x^{5} + 554273280 x^{4} + 83140992 x^{3} + 8503056 x^{2} + 531441 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(8 x + 3\right)^{13}}{104}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(8 x + 3\right)^{13}}{104}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(8 x + 3\right)^{13}}{104}+ \mathrm{constant}$