Integral de (e^(2x)-1)/(x)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(2 e^{2 u^{2}} - 2\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 e^{2 u^{2}}\, du = 2 \int e^{2 u^{2}}\, du$

            ErfRule(a=2, b=0, c=0, context=exp(2*_u**2), symbol=_u)

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \left(-2\right)\, du = - 2 u$

         El resultado es: $- 2 u + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} u \right)}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 \sqrt{x} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} \right)}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{2 x} - 1}{\sqrt{x}} = \frac{e^{2 x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      UpperGammaRule(a=2, e=-1/2, context=exp(2*x)/sqrt(x), symbol=x)

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $- 2 \sqrt{x} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \sqrt{- x} \operatorname{erfc}{\left(\sqrt{2} \sqrt{- x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \sqrt{x} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \sqrt{x} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\sqrt{2} \sqrt{x} \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$