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Resolución de integrales/ -cosx/ (1-cosx)^2

Integral de (1-cosx)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |              2   
 |  (1 - cos(x))  dx
 |                  
/                   
0
∫01(1−cos⁡(x))2 dx\int\limits_{0}^{1} \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx 
Integral((1 - cos(x))^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡(x))2=cos⁡2(x)−2cos⁡(x)+1\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 3x2−2sin⁡(x)+sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (1−cos⁡(x))2=cos⁡2(x)−2cos⁡(x)+1\left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2} = \cos^{2}{\left(x \right)} - 2 \cos{\left(x \right)} + 1

    2. Integramos término a término:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        cos⁡2(x)=cos⁡(2x)2+12\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(2x)2 dx=∫cos⁡(2x) dx2\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫cos⁡(u)2 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du2\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)2\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(2x)2\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(2x)4\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫12 dx=x2\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}

        El resultado es: x2+sin⁡(2x)4\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2cos⁡(x)) dx=−2∫cos⁡(x) dx\int \left(- 2 \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(x)- 2 \sin{\left(x \right)}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

      El resultado es: 3x2−2sin⁡(x)+sin⁡(2x)4\frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}

  2. Añadimos la constante de integración:

    3x2−2sin⁡(x)+sin⁡(2x)4+constant\frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x2−2sin⁡(x)+sin⁡(2x)4+constant\frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
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 |             2                     sin(2*x)   3*x
 | (1 - cos(x))  dx = C - 2*sin(x) + -------- + ---
 |                                      4        2 
/
∫(1−cos⁡(x))2 dx=C+3x2−2sin⁡(x)+sin⁡(2x)4\int \left(1 - \cos{\left(x \right)}\right)^{2}\, dx = C + \frac{3 x}{2} - 2 \sin{\left(x \right)} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.000.25
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2         2                              
    cos (1)   sin (1)              cos(1)*sin(1)
1 + ------- + ------- - 2*sin(1) + -------------
       2         2                       2
−2sin⁡(1)+cos⁡2(1)2+sin⁡(1)cos⁡(1)2+sin⁡2(1)2+1- 2 \sin{\left(1 \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 1 
=
= 
       2         2                              
    cos (1)   sin (1)              cos(1)*sin(1)
1 + ------- + ------- - 2*sin(1) + -------------
       2         2                       2
−2sin⁡(1)+cos⁡2(1)2+sin⁡(1)cos⁡(1)2+sin⁡2(1)2+1- 2 \sin{\left(1 \right)} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(1 \right)} \cos{\left(1 \right)}}{2} + \frac{\sin^{2}{\left(1 \right)}}{2} + 1 
1 + cos(1)^2/2 + sin(1)^2/2 - 2*sin(1) + cos(1)*sin(1)/2
Respuesta numérica [src] 
0.0443823870906274
0.0443823870906274

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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