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Resolución de integrales/ x^2+2/ 4x+12/ (-4x+12)/(x^2+2x+4)^2

Integral de (-4x+12)/(x^2+2x+4)^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                   
  /                   
 |                    
 |     -4*x + 12      
 |  --------------- dx
 |                2   
 |  / 2          \    
 |  \x  + 2*x + 4/    
 |                    
/                     
0
∫0112−4x((x2+2x)+4)2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{12 - 4 x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)^{2}}\, dx 
Integral((-4*x + 12)/(x^2 + 2*x + 4)^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      12−4x((x2+2x)+4)2=−4(x−3)(x2+2x+4)2\frac{12 - 4 x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)^{2}} = - \frac{4 \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4(x−3)(x2+2x+4)2) dx=−4∫x−3(x2+2x+4)2 dx\int \left(- \frac{4 \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x - 3}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x−3(x2+2x+4)2=x−3x4+4x3+12x2+16x+16\frac{x - 3}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}} = \frac{x - 3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}

      2. Vuelva a escribir el integrando:

        x−3x4+4x3+12x2+16x+16=xx4+4x3+12x2+16x+16−3x4+4x3+12x2+16x+16\frac{x - 3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16} = \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16} - \frac{3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}

      3. Integramos término a término:

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x+46x2+12x+24−3atan⁡(3x3+33)18- \frac{x + 4}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{18}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−3x4+4x3+12x2+16x+16) dx=−3∫1x4+4x3+12x2+16x+16 dx\int \left(- \frac{3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\, dx

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            x+16x2+12x+24+3atan⁡(3x3+33)18\frac{x + 1}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{18}

          Por lo tanto, el resultado es: −3(x+1)6x2+12x+24−3atan⁡(3x3+33)6- \frac{3 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{6}

        El resultado es: −3(x+1)6x2+12x+24−x+46x2+12x+24−23atan⁡(3x3+33)9- \frac{3 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{x + 4}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

      Por lo tanto, el resultado es: 12(x+1)6x2+12x+24+4(x+4)6x2+12x+24+83atan⁡(3x3+33)9\frac{12 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{4 \left(x + 4\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      12−4x((x2+2x)+4)2=−4x−12x4+4x3+12x2+16x+16\frac{12 - 4 x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)^{2}} = - \frac{4 x - 12}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−4x−12x4+4x3+12x2+16x+16) dx=−∫4x−12x4+4x3+12x2+16x+16 dx\int \left(- \frac{4 x - 12}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\right)\, dx = - \int \frac{4 x - 12}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        4x−12x4+4x3+12x2+16x+16=4(x−3)(x2+2x+4)2\frac{4 x - 12}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16} = \frac{4 \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}}

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4(x−3)(x2+2x+4)2 dx=4∫x−3(x2+2x+4)2 dx\int \frac{4 \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}}\, dx = 4 \int \frac{x - 3}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}}\, dx

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          x−3(x2+2x+4)2=x−3x4+4x3+12x2+16x+16\frac{x - 3}{\left(x^{2} + 2 x + 4\right)^{2}} = \frac{x - 3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}

        2. Vuelva a escribir el integrando:

          x−3x4+4x3+12x2+16x+16=xx4+4x3+12x2+16x+16−3x4+4x3+12x2+16x+16\frac{x - 3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16} = \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16} - \frac{3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}

        3. Integramos término a término:

          1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            −x+46x2+12x+24−3atan⁡(3x3+33)18- \frac{x + 4}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{18}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫(−3x4+4x3+12x2+16x+16) dx=−3∫1x4+4x3+12x2+16x+16 dx\int \left(- \frac{3}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\, dx

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

              Pero la integral

              x+16x2+12x+24+3atan⁡(3x3+33)18\frac{x + 1}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{18}

            Por lo tanto, el resultado es: −3(x+1)6x2+12x+24−3atan⁡(3x3+33)6- \frac{3 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{6}

          El resultado es: −3(x+1)6x2+12x+24−x+46x2+12x+24−23atan⁡(3x3+33)9- \frac{3 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{x + 4}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: −12(x+1)6x2+12x+24−4(x+4)6x2+12x+24−83atan⁡(3x3+33)9- \frac{12 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{4 \left(x + 4\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

      Por lo tanto, el resultado es: 12(x+1)6x2+12x+24+4(x+4)6x2+12x+24+83atan⁡(3x3+33)9\frac{12 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{4 \left(x + 4\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      12−4x((x2+2x)+4)2=−4xx4+4x3+12x2+16x+16+12x4+4x3+12x2+16x+16\frac{12 - 4 x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)^{2}} = - \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16} + \frac{12}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−4xx4+4x3+12x2+16x+16) dx=−4∫xx4+4x3+12x2+16x+16 dx\int \left(- \frac{4 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\right)\, dx = - 4 \int \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          −x+46x2+12x+24−3atan⁡(3x3+33)18- \frac{x + 4}{6 x^{2} + 12 x + 24} - \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{18}

        Por lo tanto, el resultado es: 4(x+4)6x2+12x+24+23atan⁡(3x3+33)9\frac{4 \left(x + 4\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫12x4+4x3+12x2+16x+16 dx=12∫1x4+4x3+12x2+16x+16 dx\int \frac{12}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\, dx = 12 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 12 x^{2} + 16 x + 16}\, dx

        1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

          Pero la integral

          x+16x2+12x+24+3atan⁡(3x3+33)18\frac{x + 1}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{\sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{18}

        Por lo tanto, el resultado es: 12(x+1)6x2+12x+24+23atan⁡(3x3+33)3\frac{12 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{2 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{3}

      El resultado es: 12(x+1)6x2+12x+24+4(x+4)6x2+12x+24+83atan⁡(3x3+33)9\frac{12 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{4 \left(x + 4\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}

  2. Ahora simplificar:

    2(12x+43(x2+2x+4)atan⁡(3(x+1)3)+21)9(x2+2x+4)\frac{2 \left(12 x + 4 \sqrt{3} \left(x^{2} + 2 x + 4\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x + 1\right)}{3} \right)} + 21\right)}{9 \left(x^{2} + 2 x + 4\right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2(12x+43(x2+2x+4)atan⁡(3(x+1)3)+21)9(x2+2x+4)+constant\frac{2 \left(12 x + 4 \sqrt{3} \left(x^{2} + 2 x + 4\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x + 1\right)}{3} \right)} + 21\right)}{9 \left(x^{2} + 2 x + 4\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2(12x+43(x2+2x+4)atan⁡(3(x+1)3)+21)9(x2+2x+4)+constant\frac{2 \left(12 x + 4 \sqrt{3} \left(x^{2} + 2 x + 4\right) \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(x + 1\right)}{3} \right)} + 21\right)}{9 \left(x^{2} + 2 x + 4\right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                                              /  ___       ___\
  /                                                                   ___     |\/ 3    x*\/ 3 |
 |                                                                8*\/ 3 *atan|----- + -------|
 |    -4*x + 12                4*(4 + x)          12*(1 + x)                  \  3        3   /
 | --------------- dx = C + ---------------- + ---------------- + -----------------------------
 |               2                  2                  2                        9              
 | / 2          \           24 + 6*x  + 12*x   24 + 6*x  + 12*x                                
 | \x  + 2*x + 4/                                                                              
 |                                                                                             
/
∫12−4x((x2+2x)+4)2 dx=C+12(x+1)6x2+12x+24+4(x+4)6x2+12x+24+83atan⁡(3x3+33)9\int \frac{12 - 4 x}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 4\right)^{2}}\, dx = C + \frac{12 \left(x + 1\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{4 \left(x + 4\right)}{6 x^{2} + 12 x + 24} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
                                /    ___\
                        ___     |2*\/ 3 |
              ___   8*\/ 3 *atan|-------|
  5    4*pi*\/ 3                \   3   /
- -- - ---------- + ---------------------
  42       27                 9
−43π27−542+83atan⁡(233)9- \frac{4 \sqrt{3} \pi}{27} - \frac{5}{42} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}}{9} 
=
= 
                                /    ___\
                        ___     |2*\/ 3 |
              ___   8*\/ 3 *atan|-------|
  5    4*pi*\/ 3                \   3   /
- -- - ---------- + ---------------------
  42       27                 9
−43π27−542+83atan⁡(233)9- \frac{4 \sqrt{3} \pi}{27} - \frac{5}{42} + \frac{8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3} \right)}}{9} 
-5/42 - 4*pi*sqrt(3)/27 + 8*sqrt(3)*atan(2*sqrt(3)/3)/9
Respuesta numérica [src] 
0.394367916331351
0.394367916331351

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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