Integral de (1/√x+8(2x-3)^3)dx dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 \left(2 x - 3\right)^{3}\, dx = 8 \int \left(2 x - 3\right)^{3}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x - 3$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{3}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x - 3\right)^{4}}{8}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(2 x - 3\right)^{3} = 8 x^{3} - 36 x^{2} + 54 x - 27$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 36 x^{2}\right)\, dx = - 36 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 12 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 54 x\, dx = 54 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $27 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-27\right)\, dx = - 27 x$

            El resultado es: $2 x^{4} - 12 x^{3} + 27 x^{2} - 27 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(2 x - 3\right)^{4}$

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int 2\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sqrt{x}$

   El resultado es: $2 \sqrt{x} + \left(2 x - 3\right)^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x} + \left(2 x - 3\right)^{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x} + \left(2 x - 3\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x} + \left(2 x - 3\right)^{4}+ \mathrm{constant}$