Integral de (2*x*cos(x)+x*sin(x))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- \sin{\left(u \right)} - 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del seno es un coseno menos:

                     $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\cos{\left(u \right)}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du$

                  1. La integral del coseno es seno:

                     $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sin{\left(u \right)}$

               El resultado es: $- 2 \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(\frac{1}{u} \right)} - \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x} = \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \sin{\left(x \right)}$

      El resultado es: $2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$