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Resolución de integrales/ cos(x)/ sin(x)/ (2*x*cos(x)+x*sin(x))/x

Integral de (2*x*cos(x)+x*sin(x))/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                         
  /                         
 |                          
 |  2*x*cos(x) + x*sin(x)   
 |  --------------------- dx
 |            x             
 |                          
/                           
0
∫01xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)x dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x}\, dx 
Integral(((2*x)*cos(x) + x*sin(x))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−sin⁡(1u)+2cos⁡(1u)u2) du\int \left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫sin⁡(1u)+2cos⁡(1u)u2 du=−∫sin⁡(1u)+2cos⁡(1u)u2 du\int \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos dudu:

          ∫(−sin⁡(u)−2cos⁡(u)) du\int \left(- \sin{\left(u \right)} - 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−sin⁡(u)) du=−∫sin⁡(u) du\int \left(- \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos⁡(u)\cos{\left(u \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2cos⁡(u)) du=−2∫cos⁡(u) du\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −2sin⁡(u)- 2 \sin{\left(u \right)}

            El resultado es: −2sin⁡(u)+cos⁡(u)- 2 \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −2sin⁡(1u)+cos⁡(1u)- 2 \sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(1u)−cos⁡(1u)2 \sin{\left(\frac{1}{u} \right)} - \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2sin⁡(x)−cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)x=sin⁡(x)+2cos⁡(x)\frac{x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x} = \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        ∫sin⁡(x) dx=−cos⁡(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2cos⁡(x) dx=2∫cos⁡(x) dx\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          ∫cos⁡(x) dx=sin⁡(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin⁡(x)2 \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: 2sin⁡(x)−cos⁡(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2sin⁡(x)−cos⁡(x)+constant2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2sin⁡(x)−cos⁡(x)+constant2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 | 2*x*cos(x) + x*sin(x)                           
 | --------------------- dx = C - cos(x) + 2*sin(x)
 |           x                                     
 |                                                 
/
∫xsin⁡(x)+2xcos⁡(x)x dx=C+2sin⁡(x)−cos⁡(x)\int \frac{x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x}\, dx = C + 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
1 - cos(1) + 2*sin(1)
−cos⁡(1)+1+2sin⁡(1)- \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin{\left(1 \right)} 
=
= 
1 - cos(1) + 2*sin(1)
−cos⁡(1)+1+2sin⁡(1)- \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin{\left(1 \right)} 
1 - cos(1) + 2*sin(1)
Respuesta numérica [src] 
2.14263966374765
2.14263966374765

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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