Sr Examen

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Integral de (2*x*cos(x)+x*sin(x))/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                         
  /                         
 |                          
 |  2*x*cos(x) + x*sin(x)   
 |  --------------------- dx
 |            x             
 |                          
/                           
0                           
01xsin(x)+2xcos(x)xdx\int\limits_{0}^{1} \frac{x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x}\, dx
Integral(((2*x)*cos(x) + x*sin(x))/x, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

      (sin(1u)+2cos(1u)u2)du\int \left(- \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        sin(1u)+2cos(1u)u2du=sin(1u)+2cos(1u)u2du\int \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du = - \int \frac{\sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + 2 \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u^{2}}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos dudu:

          (sin(u)2cos(u))du\int \left(- \sin{\left(u \right)} - 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              (sin(u))du=sin(u)du\int \left(- \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - \int \sin{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                sin(u)du=cos(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: cos(u)\cos{\left(u \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              (2cos(u))du=2cos(u)du\int \left(- 2 \cos{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \cos{\left(u \right)}\, du

              1. La integral del coseno es seno:

                cos(u)du=sin(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2sin(u)- 2 \sin{\left(u \right)}

            El resultado es: 2sin(u)+cos(u)- 2 \sin{\left(u \right)} + \cos{\left(u \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2sin(1u)+cos(1u)- 2 \sin{\left(\frac{1}{u} \right)} + \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin(1u)cos(1u)2 \sin{\left(\frac{1}{u} \right)} - \cos{\left(\frac{1}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      2sin(x)cos(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xsin(x)+2xcos(x)x=sin(x)+2cos(x)\frac{x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x} = \sin{\left(x \right)} + 2 \cos{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

        sin(x)dx=cos(x)\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        2cos(x)dx=2cos(x)dx\int 2 \cos{\left(x \right)}\, dx = 2 \int \cos{\left(x \right)}\, dx

        1. La integral del coseno es seno:

          cos(x)dx=sin(x)\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: 2sin(x)2 \sin{\left(x \right)}

      El resultado es: 2sin(x)cos(x)2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    2sin(x)cos(x)+constant2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

2sin(x)cos(x)+constant2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                
 |                                                 
 | 2*x*cos(x) + x*sin(x)                           
 | --------------------- dx = C - cos(x) + 2*sin(x)
 |           x                                     
 |                                                 
/                                                  
xsin(x)+2xcos(x)xdx=C+2sin(x)cos(x)\int \frac{x \sin{\left(x \right)} + 2 x \cos{\left(x \right)}}{x}\, dx = C + 2 \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Respuesta [src]
1 - cos(1) + 2*sin(1)
cos(1)+1+2sin(1)- \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin{\left(1 \right)}
=
=
1 - cos(1) + 2*sin(1)
cos(1)+1+2sin(1)- \cos{\left(1 \right)} + 1 + 2 \sin{\left(1 \right)}
1 - cos(1) + 2*sin(1)
Respuesta numérica [src]
2.14263966374765
2.14263966374765

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.