Integral de (3x^(1/2)+4x^2-5)/(2x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{4 u^{4} + 3 u - 5}{u^{3}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{4 u^{4} + 3 u - 5}{u^{3}} = 4 u + \frac{3}{u^{2}} - \frac{5}{u^{3}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u\, du = 4 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{3}{u^{2}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{u}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{5}{u^{3}}\right)\, du = - 5 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{2 u^{2}}$

         El resultado es: $2 u^{2} - \frac{3}{u} + \frac{5}{2 u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 x + \frac{5}{2 x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 \sqrt{x} + 4 x^{2}\right) - 5}{2 x^{2}} = 2 - \frac{5}{2 x^{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5}{2 x^{2}}\right)\, dx = - \frac{5 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5}{2 x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}}}\, dx = \frac{3 \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{\sqrt{x}}$

      El resultado es: $2 x + \frac{5}{2 x} - \frac{3}{\sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 x + \frac{5}{2 x} - \frac{3}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x + \frac{5}{2 x} - \frac{3}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$