Integral de (exp^3+(1/x))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u + e^{3}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u + e^{3}}{u}\, du = - \int \frac{u + e^{3}}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u + e^{3}}{u} = 1 + \frac{e^{3}}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{e^{3}}{u}\, du = e^{3} \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $e^{3} \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u + e^{3} \log{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- u - e^{3} \log{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $e^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{3} + \frac{1}{x}}{x} = \frac{e^{3}}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3}}{x}\, dx = e^{3} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{3} \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $e^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{3} + \frac{1}{x}}{x} = \frac{x e^{3} + 1}{x^{2}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x e^{3} + 1}{x^{2}} = \frac{e^{3}}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{e^{3}}{x}\, dx = e^{3} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $e^{3} \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $e^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $e^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$e^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$