Integral de (x^3-6*x^(2/3))/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

      $\int \left(- \frac{- 3 u^{\frac{9}{2}} + 18 u}{2 u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{- 3 u^{\frac{9}{2}} + 18 u}{u}\, du = - \frac{\int \frac{- 3 u^{\frac{9}{2}} + 18 u}{u}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{3 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{9}{2}} - 18}{u^{2}}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

               $\int \left(18 - 3 u^{\frac{7}{2}}\right)\, du$

               1. Integramos término a término:

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 18\, du = 18 u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \left(- 3 u^{\frac{7}{2}}\right)\, du = - 3 \int u^{\frac{7}{2}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u^{\frac{7}{2}}\, du = \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{9}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{3}$

                  El resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{3} + 18 u$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{9}{2}}}{3} + \frac{18}{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{2 u^{\frac{9}{2}}}{3} + 18 u$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{9}{2}}}{3} - 9 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 9 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{3}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{- 6 x^{\frac{2}{3}} + x^{3}}{x} = x^{2} - \frac{6}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{6}{\sqrt[3]{x}}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9 x^{\frac{2}{3}}$

      El resultado es: $- 9 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{3}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 9 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 9 x^{\frac{2}{3}} + \frac{x^{3}}{3}+ \mathrm{constant}$