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Resolución de integrales/ (1/x)/ (ln(1/x))^3

Integral de (ln(1/x))^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     3/1\   
 |  log |-| dx
 |      \x/   
 |            
/             
0
∫01log⁡(1x)3 dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}\, dx 
Integral(log(1/x)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(1x)u = \log{\left(\frac{1}{x} \right)}.

    Luego que du=−dxxdu = - \frac{dx}{x} y ponemos −du- du:

    ∫(−u3e−u) du\int \left(- u^{3} e^{- u}\right)\, du

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫u3e−u du=−∫u3e−u du\int u^{3} e^{- u}\, du = - \int u^{3} e^{- u}\, du

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos dudu:

          ∫u3eu du\int u^{3} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=3u2u{\left(u \right)} = 3 u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=6u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=6uu{\left(u \right)} = 6 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=6\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫6eu du=6∫eu du\int 6 e^{u}\, du = 6 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 6eu6 e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −u3e−u−3u2e−u−6ue−u−6e−u- u^{3} e^{- u} - 3 u^{2} e^{- u} - 6 u e^{- u} - 6 e^{- u}

        Método #2

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

          Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

            ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−u- e^{- u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=−3u2u{\left(u \right)} = - 3 u^{2} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

          Entonces du⁡(u)=−6u\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 6 u.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

            ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−u- e^{- u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        3. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=6uu{\left(u \right)} = 6 u y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

          Entonces du⁡(u)=6\operatorname{du}{\left(u \right)} = 6.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

            ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−u- e^{- u}

          Ahora resolvemos podintegral.

        4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−6e−u) du=−6∫e−u du\int \left(- 6 e^{- u}\right)\, du = - 6 \int e^{- u}\, du

          1. que u=−uu = - u.

            Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

            ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −e−u- e^{- u}

          Por lo tanto, el resultado es: 6e−u6 e^{- u}

      Por lo tanto, el resultado es: u3e−u+3u2e−u+6ue−u+6e−uu^{3} e^{- u} + 3 u^{2} e^{- u} + 6 u e^{- u} + 6 e^{- u}

    Si ahora sustituir uu más en:

    xlog⁡(1x)3+3xlog⁡(1x)2+6xlog⁡(1x)+6xx \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3} + 3 x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2} + 6 x \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 6 x

  2. Ahora simplificar:

    x(log⁡(1x)3+3log⁡(1x)2+6log⁡(1x)+6)x \left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3} + 3 \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 6\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x(log⁡(1x)3+3log⁡(1x)2+6log⁡(1x)+6)+constantx \left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3} + 3 \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 6\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x(log⁡(1x)3+3log⁡(1x)2+6log⁡(1x)+6)+constantx \left(\log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3} + 3 \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2} + 6 \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 6\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                                            
 |    3/1\                     3/1\          2/1\          /1\
 | log |-| dx = C + 6*x + x*log |-| + 3*x*log |-| + 6*x*log|-|
 |     \x/                      \x/           \x/          \x/
 |                                                            
/
∫log⁡(1x)3 dx=C+xlog⁡(1x)3+3xlog⁡(1x)2+6xlog⁡(1x)+6x\int \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3}\, dx = C + x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{3} + 3 x \log{\left(\frac{1}{x} \right)}^{2} + 6 x \log{\left(\frac{1}{x} \right)} + 6 x
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9001000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
6
66 
=
= 
6
66 
6
Respuesta numérica [src] 
5.99999999999999
5.99999999999999

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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