Integral de (1-3x)/(sqrt(x)-2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\, du = - \int \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2} = 6 u^{2} + 12 u + 22 + \frac{44}{u - 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 u^{2}\, du = 6 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 12 u\, du = 12 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 u^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 22\, du = 22 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{44}{u - 2}\, du = 44 \int \frac{1}{u - 2}\, du$

               1. que $u = u - 2$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $44 \log{\left(u - 2 \right)}$

            El resultado es: $2 u^{3} + 6 u^{2} + 22 u + 44 \log{\left(u - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{3} - 6 u^{2} - 22 u - 44 \log{\left(u - 2 \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - 3 x}{\sqrt{x} - 2} = - \frac{3 x - 1}{\sqrt{x} - 2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3 x - 1}{\sqrt{x} - 2}\right)\, dx = - \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x} - 2}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2} = 6 u^{2} + 12 u + 22 + \frac{44}{u - 2}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 6 u^{2}\, du = 6 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 12 u\, du = 12 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $6 u^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 22\, du = 22 u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{44}{u - 2}\, du = 44 \int \frac{1}{u - 2}\, du$

               1. que $u = u - 2$.

                  Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\log{\left(u - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $44 \log{\left(u - 2 \right)}$

            El resultado es: $2 u^{3} + 6 u^{2} + 22 u + 44 \log{\left(u - 2 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 x^{\frac{3}{2}} + 22 \sqrt{x} + 6 x + 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - 3 x}{\sqrt{x} - 2} = - \frac{3 x}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{3 x}{\sqrt{x} - 2}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{\sqrt{x} - 2}\, dx$

         1. que $u = \sqrt{x}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

            $\int \frac{2 u^{3}}{u - 2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{3}}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u - 2}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{u^{3}}{u - 2} = u^{2} + 2 u + 4 + \frac{8}{u - 2}$

               2. Integramos término a término:

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int 2 u\, du = 2 \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $u^{2}$

                  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                     $\int 4\, du = 4 u$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{8}{u - 2}\, du = 8 \int \frac{1}{u - 2}\, du$

                     1. que $u = u - 2$.

                        Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                        $\int \frac{1}{u}\, du$

                        1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                        Si ahora sustituir $u$ más en:

                        $\log{\left(u - 2 \right)}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(u - 2 \right)}$

                  El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + u^{2} + 4 u + 8 \log{\left(u - 2 \right)}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{3}}{3} + 2 u^{2} + 8 u + 16 \log{\left(u - 2 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x} + 2 x + 16 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 x^{\frac{3}{2}} - 24 \sqrt{x} - 6 x - 48 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

      1. que $u = \sqrt{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $2 du$:

         $\int \frac{2 u}{u - 2}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{u}{u - 2}\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u}{u - 2} = 1 + \frac{2}{u - 2}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{2}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{1}{u - 2}\, du$

                  1. que $u = u - 2$.

                     Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $\log{\left(u - 2 \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(u - 2 \right)}$

               El resultado es: $u + 2 \log{\left(u - 2 \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 u + 4 \log{\left(u - 2 \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 \sqrt{x} + 4 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

      El resultado es: $- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}$