Sr Examen

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Resolución de integrales/ (1-3x)/ sqrt(x)/ (1-3x)/(sqrt(x)-2)

Integral de (1-3x)/(sqrt(x)-2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |   1 - 3*x    
 |  --------- dx
 |    ___       
 |  \/ x  - 2   
 |              
/               
0
∫011−3xx−2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{1 - 3 x}{\sqrt{x} - 2}\, dx 
Integral((1 - 3*x)/(sqrt(x) - 2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=xu = \sqrt{x}.

      Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos −du- du:

      ∫(−6u3−2uu−2) du\int \left(- \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫6u3−2uu−2 du=−∫6u3−2uu−2 du\int \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\, du = - \int \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          6u3−2uu−2=6u2+12u+22+44u−2\frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2} = 6 u^{2} + 12 u + 22 + \frac{44}{u - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫6u2 du=6∫u2 du\int 6 u^{2}\, du = 6 \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u32 u^{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12u du=12∫u du\int 12 u\, du = 12 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 6u26 u^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫22 du=22u\int 22\, du = 22 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫44u−2 du=44∫1u−2 du\int \frac{44}{u - 2}\, du = 44 \int \frac{1}{u - 2}\, du

            1. que u=u−2u = u - 2.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−2)\log{\left(u - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 44log⁡(u−2)44 \log{\left(u - 2 \right)}

          El resultado es: 2u3+6u2+22u+44log⁡(u−2)2 u^{3} + 6 u^{2} + 22 u + 44 \log{\left(u - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2u3−6u2−22u−44log⁡(u−2)- 2 u^{3} - 6 u^{2} - 22 u - 44 \log{\left(u - 2 \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2x32−22x−6x−44log⁡(x−2)- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−3xx−2=−3x−1x−2\frac{1 - 3 x}{\sqrt{x} - 2} = - \frac{3 x - 1}{\sqrt{x} - 2}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−3x−1x−2) dx=−∫3x−1x−2 dx\int \left(- \frac{3 x - 1}{\sqrt{x} - 2}\right)\, dx = - \int \frac{3 x - 1}{\sqrt{x} - 2}\, dx

      1. que u=xu = \sqrt{x}.

        Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos dudu:

        ∫6u3−2uu−2 du\int \frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          6u3−2uu−2=6u2+12u+22+44u−2\frac{6 u^{3} - 2 u}{u - 2} = 6 u^{2} + 12 u + 22 + \frac{44}{u - 2}

        2. Integramos término a término:

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫6u2 du=6∫u2 du\int 6 u^{2}\, du = 6 \int u^{2}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u32 u^{3}

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫12u du=12∫u du\int 12 u\, du = 12 \int u\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

              ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 6u26 u^{2}

          1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            ∫22 du=22u\int 22\, du = 22 u

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫44u−2 du=44∫1u−2 du\int \frac{44}{u - 2}\, du = 44 \int \frac{1}{u - 2}\, du

            1. que u=u−2u = u - 2.

              Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

              ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Si ahora sustituir uu más en:

              log⁡(u−2)\log{\left(u - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 44log⁡(u−2)44 \log{\left(u - 2 \right)}

          El resultado es: 2u3+6u2+22u+44log⁡(u−2)2 u^{3} + 6 u^{2} + 22 u + 44 \log{\left(u - 2 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2x32+22x+6x+44log⁡(x−2)2 x^{\frac{3}{2}} + 22 \sqrt{x} + 6 x + 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −2x32−22x−6x−44log⁡(x−2)- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1−3xx−2=−3xx−2+1x−2\frac{1 - 3 x}{\sqrt{x} - 2} = - \frac{3 x}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3xx−2) dx=−3∫xx−2 dx\int \left(- \frac{3 x}{\sqrt{x} - 2}\right)\, dx = - 3 \int \frac{x}{\sqrt{x} - 2}\, dx

        1. que u=xu = \sqrt{x}.

          Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

          ∫2u3u−2 du\int \frac{2 u^{3}}{u - 2}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫u3u−2 du=2∫u3u−2 du\int \frac{u^{3}}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{u^{3}}{u - 2}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              u3u−2=u2+2u+4+8u−2\frac{u^{3}}{u - 2} = u^{2} + 2 u + 4 + \frac{8}{u - 2}

            2. Integramos término a término:

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫2u du=2∫u du\int 2 u\, du = 2 \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: u2u^{2}

              1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                ∫4 du=4u\int 4\, du = 4 u

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫8u−2 du=8∫1u−2 du\int \frac{8}{u - 2}\, du = 8 \int \frac{1}{u - 2}\, du

                1. que u=u−2u = u - 2.

                  Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                  ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                  1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                  Si ahora sustituir uu más en:

                  log⁡(u−2)\log{\left(u - 2 \right)}

                Por lo tanto, el resultado es: 8log⁡(u−2)8 \log{\left(u - 2 \right)}

              El resultado es: u33+u2+4u+8log⁡(u−2)\frac{u^{3}}{3} + u^{2} + 4 u + 8 \log{\left(u - 2 \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: 2u33+2u2+8u+16log⁡(u−2)\frac{2 u^{3}}{3} + 2 u^{2} + 8 u + 16 \log{\left(u - 2 \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          2x323+8x+2x+16log⁡(x−2)\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + 8 \sqrt{x} + 2 x + 16 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −2x32−24x−6x−48log⁡(x−2)- 2 x^{\frac{3}{2}} - 24 \sqrt{x} - 6 x - 48 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}

      1. que u=xu = \sqrt{x}.

        Luego que du=dx2xdu = \frac{dx}{2 \sqrt{x}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2uu−2 du\int \frac{2 u}{u - 2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫uu−2 du=2∫uu−2 du\int \frac{u}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{u}{u - 2}\, du

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            uu−2=1+2u−2\frac{u}{u - 2} = 1 + \frac{2}{u - 2}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫1 du=u\int 1\, du = u

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫2u−2 du=2∫1u−2 du\int \frac{2}{u - 2}\, du = 2 \int \frac{1}{u - 2}\, du

              1. que u=u−2u = u - 2.

                Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

                ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

                Si ahora sustituir uu más en:

                log⁡(u−2)\log{\left(u - 2 \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(u−2)2 \log{\left(u - 2 \right)}

            El resultado es: u+2log⁡(u−2)u + 2 \log{\left(u - 2 \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: 2u+4log⁡(u−2)2 u + 4 \log{\left(u - 2 \right)}

        Si ahora sustituir uu más en:

        2x+4log⁡(x−2)2 \sqrt{x} + 4 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}

      El resultado es: −2x32−22x−6x−44log⁡(x−2)- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2x32−22x−6x−44log⁡(x−2)+constant- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2x32−22x−6x−44log⁡(x−2)+constant- 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                               
 |                                                                
 |  1 - 3*x                 /       ___\        ___            3/2
 | --------- dx = C - 44*log\-2 + \/ x / - 22*\/ x  - 6*x - 2*x   
 |   ___                                                          
 | \/ x  - 2                                                      
 |                                                                
/
∫1−3xx−2 dx=C−2x32−22x−6x−44log⁡(x−2)\int \frac{1 - 3 x}{\sqrt{x} - 2}\, dx = C - 2 x^{\frac{3}{2}} - 22 \sqrt{x} - 6 x - 44 \log{\left(\sqrt{x} - 2 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.902.5-2.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-30 + 44*log(2)
−30+44log⁡(2)-30 + 44 \log{\left(2 \right)} 
=
= 
-30 + 44*log(2)
−30+44log⁡(2)-30 + 44 \log{\left(2 \right)} 
-30 + 44*log(2)
Respuesta numérica [src] 
0.498475944637594
0.498475944637594

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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