Integral de (3x²+2)×(x³+3x)¹⁰ dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\left(3 x^{2} + 2\right) \left(x^{3} + 3 x\right)^{10} = 3 x^{32} + 92 x^{30} + 1275 x^{28} + 10530 x^{26} + 57510 x^{24} + 217728 x^{22} + 581742 x^{20} + 1093500 x^{18} + 1410615 x^{16} + 1180980 x^{14} + 570807 x^{12} + 118098 x^{10}$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 3 x^{32}\, dx = 3 \int x^{32}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{32}\, dx = \frac{x^{33}}{33}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{33}}{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 92 x^{30}\, dx = 92 \int x^{30}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{30}\, dx = \frac{x^{31}}{31}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{92 x^{31}}{31}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1275 x^{28}\, dx = 1275 \int x^{28}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{28}\, dx = \frac{x^{29}}{29}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1275 x^{29}}{29}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10530 x^{26}\, dx = 10530 \int x^{26}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{26}\, dx = \frac{x^{27}}{27}$

      Por lo tanto, el resultado es: $390 x^{27}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 57510 x^{24}\, dx = 57510 \int x^{24}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{24}\, dx = \frac{x^{25}}{25}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{11502 x^{25}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 217728 x^{22}\, dx = 217728 \int x^{22}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{22}\, dx = \frac{x^{23}}{23}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{217728 x^{23}}{23}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 581742 x^{20}\, dx = 581742 \int x^{20}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

      Por lo tanto, el resultado es: $27702 x^{21}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1093500 x^{18}\, dx = 1093500 \int x^{18}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1093500 x^{19}}{19}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1410615 x^{16}\, dx = 1410615 \int x^{16}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1410615 x^{17}}{17}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 1180980 x^{14}\, dx = 1180980 \int x^{14}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

      Por lo tanto, el resultado es: $78732 x^{15}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 570807 x^{12}\, dx = 570807 \int x^{12}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{570807 x^{13}}{13}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 118098 x^{10}\, dx = 118098 \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{118098 x^{11}}{11}$

   El resultado es: $\frac{x^{33}}{11} + \frac{92 x^{31}}{31} + \frac{1275 x^{29}}{29} + 390 x^{27} + \frac{11502 x^{25}}{5} + \frac{217728 x^{23}}{23} + 27702 x^{21} + \frac{1093500 x^{19}}{19} + \frac{1410615 x^{17}}{17} + 78732 x^{15} + \frac{570807 x^{13}}{13} + \frac{118098 x^{11}}{11}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{11} \left(434113615 x^{22} + 14171708980 x^{20} + 209946325875 x^{18} + 1862347408350 x^{16} + 10984984559406 x^{14} + 45204590471040 x^{12} + 132283968990030 x^{10} + 274828190422500 x^{8} + 396237585132675 x^{6} + 375964964497980 x^{4} + 209672768662335 x^{2} + 51267949704270\right)}{4775249765}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{11} \left(434113615 x^{22} + 14171708980 x^{20} + 209946325875 x^{18} + 1862347408350 x^{16} + 10984984559406 x^{14} + 45204590471040 x^{12} + 132283968990030 x^{10} + 274828190422500 x^{8} + 396237585132675 x^{6} + 375964964497980 x^{4} + 209672768662335 x^{2} + 51267949704270\right)}{4775249765}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{11} \left(434113615 x^{22} + 14171708980 x^{20} + 209946325875 x^{18} + 1862347408350 x^{16} + 10984984559406 x^{14} + 45204590471040 x^{12} + 132283968990030 x^{10} + 274828190422500 x^{8} + 396237585132675 x^{6} + 375964964497980 x^{4} + 209672768662335 x^{2} + 51267949704270\right)}{4775249765}+ \mathrm{constant}$