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Resolución de integrales/ cos3x/ (4x+1)/ (4x+1)cos3x

Integral de (4x+1)cos3x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  (4*x + 1)*cos(3*x) dx
 |                       
/                        
0
∫01(4x+1)cos⁡(3x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 x + 1\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx 
Integral((4*x + 1)*cos(3*x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x+1)cos⁡(3x)=4xcos⁡(3x)+cos⁡(3x)\left(4 x + 1\right) \cos{\left(3 x \right)} = 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(3x) dx=4∫xcos⁡(3x) dx\int 4 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 4xsin⁡(3x)3+4cos⁡(3x)9\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: 4xsin⁡(3x)3+sin⁡(3x)3+4cos⁡(3x)9\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=4x+1u{\left(x \right)} = 4 x + 1 y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

      Entonces du⁡(x)=4\operatorname{du}{\left(x \right)} = 4.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4sin⁡(3x)3 dx=4∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{4 \sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{4 \int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del seno es un coseno menos:

            ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: −4cos⁡(3x)9- \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (4x+1)cos⁡(3x)=4xcos⁡(3x)+cos⁡(3x)\left(4 x + 1\right) \cos{\left(3 x \right)} = 4 x \cos{\left(3 x \right)} + \cos{\left(3 x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4xcos⁡(3x) dx=4∫xcos⁡(3x) dx\int 4 x \cos{\left(3 x \right)}\, dx = 4 \int x \cos{\left(3 x \right)}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=cos⁡(3x)\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del coseno es seno:

                ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫sin⁡(3x)3 dx=∫sin⁡(3x) dx3\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}

          1. que u=3xu = 3 x.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫sin⁡(u)3 du\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫sin⁡(u) du=∫sin⁡(u) du3\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}

              1. La integral del seno es un coseno menos:

                ∫sin⁡(u) du=−cos⁡(u)\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}

              Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(u)3- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −cos⁡(3x)3- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −cos⁡(3x)9- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: 4xsin⁡(3x)3+4cos⁡(3x)9\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}

      1. que u=3xu = 3 x.

        Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫cos⁡(u)3 du\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫cos⁡(u) du=∫cos⁡(u) du3\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{3}

          1. La integral del coseno es seno:

            ∫cos⁡(u) du=sin⁡(u)\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: sin⁡(u)3\frac{\sin{\left(u \right)}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        sin⁡(3x)3\frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}

      El resultado es: 4xsin⁡(3x)3+sin⁡(3x)3+4cos⁡(3x)9\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}

  2. Añadimos la constante de integración:

    4xsin⁡(3x)3+sin⁡(3x)3+4cos⁡(3x)9+constant\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

4xsin⁡(3x)3+sin⁡(3x)3+4cos⁡(3x)9+constant\frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                             sin(3*x)   4*cos(3*x)   4*x*sin(3*x)
 | (4*x + 1)*cos(3*x) dx = C + -------- + ---------- + ------------
 |                                3           9             3      
/
∫(4x+1)cos⁡(3x) dx=C+4xsin⁡(3x)3+sin⁡(3x)3+4cos⁡(3x)9\int \left(4 x + 1\right) \cos{\left(3 x \right)}\, dx = C + \frac{4 x \sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{4 \cos{\left(3 x \right)}}{9}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-10
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  4   4*cos(3)   5*sin(3)
- - + -------- + --------
  9      9          3
−49+4cos⁡(3)9+5sin⁡(3)3- \frac{4}{9} + \frac{4 \cos{\left(3 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)}}{3} 
=
= 
  4   4*cos(3)   5*sin(3)
- - + -------- + --------
  9      9          3
−49+4cos⁡(3)9+5sin⁡(3)3- \frac{4}{9} + \frac{4 \cos{\left(3 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(3 \right)}}{3} 
-4/9 + 4*cos(3)/9 + 5*sin(3)/3
Respuesta numérica [src] 
-0.649241096167086
-0.649241096167086

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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