Integral de x(sqrt(3)(1+x^2)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2} + 1$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{\sqrt{3} du}{2}$:

      $\int \frac{\sqrt{3} u}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = \frac{\sqrt{3} \int u\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} u^{2}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{3} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x \sqrt{3} \left(x^{2} + 1\right) = \sqrt{3} x^{3} + \sqrt{3} x$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{3} x^{3}\, dx = \sqrt{3} \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{3} x\, dx = \sqrt{3} \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{3} x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{\sqrt{3} x^{4}}{4} + \frac{\sqrt{3} x^{2}}{2}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{3} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{3} \left(x^{2} + 1\right)^{2}}{4}+ \mathrm{constant}$