Integral de sin(x+y)+xcos(x+y) dx

1. Integramos término a término:

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \cos{\left(x + y \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. que $u = x + y$.

         Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

         $\int \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\sin{\left(x + y \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. que $u = x + y$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \cos{\left(x + y \right)}$

   1. que $u = x + y$.

      Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

      $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \cos{\left(x + y \right)}$

   El resultado es: $x \sin{\left(x + y \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $x \sin{\left(x + y \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \sin{\left(x + y \right)}+ \mathrm{constant}$