Integral de 12t*arcsint dt

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(t \right)} = \operatorname{asin}{\left(t \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(t \right)} = 12 t$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(t \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}$.

   Para buscar $v{\left(t \right)}$:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 12 t\, dt = 12 \int t\, dt$

      1. Integral $t^{n}$ es $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int t\, dt = \frac{t^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $6 t^{2}$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{6 t^{2}}{\sqrt{1 - t^{2}}}\, dt = 6 \int \frac{t^{2}}{\sqrt{1 - t^{2}}}\, dt$

   TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=1/2 - cos(2*_theta)/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=-1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=-cos(2*_theta)/2, symbol=_theta)], context=1/2 - cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), context=sin(_theta)**2, symbol=_theta), restriction=(t > -1) & (t < 1), context=t**2/sqrt(1 - t**2), symbol=t)

   Por lo tanto, el resultado es: $6 \left(\begin{cases} - \frac{t \sqrt{1 - t^{2}}}{2} + \frac{\operatorname{asin}{\left(t \right)}}{2} & \text{for}\: t > -1 \wedge t < 1 \end{cases}\right)$

3. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} 3 \left(2 t^{2} \operatorname{asin}{\left(t \right)} + t \sqrt{1 - t^{2}} - \operatorname{asin}{\left(t \right)}\right) & \text{for}\: t > -1 \wedge t < 1 \end{cases}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} 3 \left(2 t^{2} \operatorname{asin}{\left(t \right)} + t \sqrt{1 - t^{2}} - \operatorname{asin}{\left(t \right)}\right) & \text{for}\: t > -1 \wedge t < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} 3 \left(2 t^{2} \operatorname{asin}{\left(t \right)} + t \sqrt{1 - t^{2}} - \operatorname{asin}{\left(t \right)}\right) & \text{for}\: t > -1 \wedge t < 1 \end{cases}+ \mathrm{constant}$