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Resolución de integrales/ x(lnx)/ (lnx)^3/ x(lnx)^3

Integral de x(lnx)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo             
  /             
 |              
 |       3      
 |  x*log (x) dx
 |              
/               
E
∫e∞xlog⁡(x)3 dx\int\limits_{e}^{\infty} x \log{\left(x \right)}^{3}\, dx 
Integral(x*log(x)^3, (x, E, oo))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫u3e2u du\int u^{3} e^{2 u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=3u22u{\left(u \right)} = \frac{3 u^{2}}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=3u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=3u2u{\left(u \right)} = \frac{3 u}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

      Entonces du⁡(u)=32\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{2}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3e2u4 du=3∫e2u du4\int \frac{3 e^{2 u}}{4}\, du = \frac{3 \int e^{2 u}\, du}{4}

      1. que u=2uu = 2 u.

        Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3e2u8\frac{3 e^{2 u}}{8}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x2log⁡(x)32−3x2log⁡(x)24+3x2log⁡(x)4−3x28\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8}

  2. Ahora simplificar:

    x2(4log⁡(x)3−6log⁡(x)2+6log⁡(x)−3)8\frac{x^{2} \left(4 \log{\left(x \right)}^{3} - 6 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{8}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(4log⁡(x)3−6log⁡(x)2+6log⁡(x)−3)8+constant\frac{x^{2} \left(4 \log{\left(x \right)}^{3} - 6 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(4log⁡(x)3−6log⁡(x)2+6log⁡(x)−3)8+constant\frac{x^{2} \left(4 \log{\left(x \right)}^{3} - 6 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 3\right)}{8}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                 
 |                       2    2    3         2    2         2       
 |      3             3*x    x *log (x)   3*x *log (x)   3*x *log(x)
 | x*log (x) dx = C - ---- + ---------- - ------------ + -----------
 |                     8         2             4              4     
/
∫xlog⁡(x)3 dx=C+x2log⁡(x)32−3x2log⁡(x)24+3x2log⁡(x)4−3x28\int x \log{\left(x \right)}^{3}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8}
Simplificar
Gráfica
2.71902.72002.72102.72202.72302.72402.72502.72602.72702.728004
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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