Sr Examen

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Resolución de integrales/ e^x+1/ (e^x+1)^2/e^2x

Integral de (e^x+1)^2/e^2x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  2               
  /               
 |                
 |          2     
 |  / x    \      
 |  \E  + 1/      
 |  ---------*x dx
 |       2        
 |      E         
 |                
/                 
0
∫02x(ex+1)2e2 dx\int\limits_{0}^{2} x \frac{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}{e^{2}}\, dx 
Integral(((E^x + 1)^2/E^2)*x, (x, 0, 2))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(ex+1)2e2=xe2x+2xex+xe2x \frac{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}{e^{2}} = \frac{x e^{2 x} + 2 x e^{x} + x}{e^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫xe2x+2xex+xe2 dx=∫(xe2x+2xex+x) dxe2\int \frac{x e^{2 x} + 2 x e^{x} + x}{e^{2}}\, dx = \frac{\int \left(x e^{2 x} + 2 x e^{x} + x\right)\, dx}{e^{2}}

      1. Integramos término a término:

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2xex dx=2∫xex dx\int 2 x e^{x}\, dx = 2 \int x e^{x}\, dx

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

            Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

            Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

          Por lo tanto, el resultado es: 2xex−2ex2 x e^{x} - 2 e^{x}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        El resultado es: x22+xe2x2+2xex−e2x4−2ex\frac{x^{2}}{2} + \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 x e^{x} - \frac{e^{2 x}}{4} - 2 e^{x}

      Por lo tanto, el resultado es: x22+xe2x2+2xex−e2x4−2exe2\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 x e^{x} - \frac{e^{2 x}}{4} - 2 e^{x}}{e^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(ex+1)2e2=xe2xe2+2xexe2+xe2x \frac{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}{e^{2}} = \frac{x e^{2 x}}{e^{2}} + \frac{2 x e^{x}}{e^{2}} + \frac{x}{e^{2}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xe2xe2 dx=∫xe2x dxe2\int \frac{x e^{2 x}}{e^{2}}\, dx = \frac{\int x e^{2 x}\, dx}{e^{2}}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e2x2 dx=∫e2x dx2\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{\int e^{2 x}\, dx}{2}

          1. que u=2xu = 2 x.

            Luego que du=2dxdu = 2 dx y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e2x2\frac{e^{2 x}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: e2x4\frac{e^{2 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: xe2x2−e2x4e2\frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}}{e^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xexe2 dx=2∫xex dxe2\int \frac{2 x e^{x}}{e^{2}}\, dx = \frac{2 \int x e^{x}\, dx}{e^{2}}

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=ex\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral de la función exponencial es la mesma.

          ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

        Por lo tanto, el resultado es: 2(xex−ex)e2\frac{2 \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{e^{2}}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xe2 dx=∫x dxe2\int \frac{x}{e^{2}}\, dx = \frac{\int x\, dx}{e^{2}}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x22e2\frac{x^{2}}{2 e^{2}}

      El resultado es: x22e2+2(xex−ex)e2+xe2x2−e2x4e2\frac{x^{2}}{2 e^{2}} + \frac{2 \left(x e^{x} - e^{x}\right)}{e^{2}} + \frac{\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}}{e^{2}}

  2. Ahora simplificar:

    2x2+2xe2x+8xex−e2x−8ex4e2\frac{2 x^{2} + 2 x e^{2 x} + 8 x e^{x} - e^{2 x} - 8 e^{x}}{4 e^{2}}

  3. Añadimos la constante de integración:

    2x2+2xe2x+8xex−e2x−8ex4e2+constant\frac{2 x^{2} + 2 x e^{2 x} + 8 x e^{x} - e^{2 x} - 8 e^{x}}{4 e^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

2x2+2xe2x+8xex−e2x−8ex4e2+constant\frac{2 x^{2} + 2 x e^{2 x} + 8 x e^{x} - e^{2 x} - 8 e^{x}}{4 e^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                             
 |                                                              
 |         2                                                    
 | / x    \             / 2           2*x      2*x         \    
 | \E  + 1/             |x       x   e      x*e           x|  -2
 | ---------*x dx = C + |-- - 2*e  - ---- + ------ + 2*x*e |*e  
 |      2               \2            4       2            /    
 |     E                                                        
 |                                                              
/
∫x(ex+1)2e2 dx=C+x22+xe2x2+2xex−e2x4−2exe2\int x \frac{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}{e^{2}}\, dx = C + \frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{x e^{2 x}}{2} + 2 x e^{x} - \frac{e^{2 x}}{4} - 2 e^{x}}{e^{2}}
Simplificar
Gráfica
0.02.00.20.40.60.81.01.21.41.61.8-2020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
    -2   /   6      4\  -4
17*e     \3*e  + 8*e /*e  
------ + -----------------
  4              4
174e2+8e4+3e64e4\frac{17}{4 e^{2}} + \frac{8 e^{4} + 3 e^{6}}{4 e^{4}} 
=
= 
    -2   /   6      4\  -4
17*e     \3*e  + 8*e /*e  
------ + -----------------
  4              4
174e2+8e4+3e64e4\frac{17}{4 e^{2}} + \frac{8 e^{4} + 3 e^{6}}{4 e^{4}} 
17*exp(-2)/4 + (3*exp(6) + 8*exp(4))*exp(-4)/4
Respuesta numérica [src] 
8.11696702795359
8.11696702795359

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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